Nosso calendário se repete a cada 28 anos?

 Vamos primeiro definir o que significa "calendário se repete". Significa que se dois  anos começam no mesmo dia da semana e o último dia do ano também ocorrem na mesma semana para ambos os dois anos, o calendário é repetido.

    Podemos verificar isto de forma relativamente simples. Vamos considerar um ano com  365 dias, isto implica que temos 52 semanas mais um dia em um ano. Isto que dizer que se o dia primeiro de janeiro é um domingo, o dia 31 de dezembro será também um domingo.  Assim, o outro ano inicia em uma segunda-feira e o ano terminá em uma segunda-feira, e assim sucessivamente até que no sétimo ano o calendário iniciaria novamente em um domingo, e o calendário voltaria a repetir e a sequência se manteria sendo retomada a cada sete anos. Na tabela 1 apresentamos um exemplo, começando com um ano arbitrário, que definimos como ano 1. Anotamos o dia da semana que o ano inicia e o dia da semana que o ano termina.

Tabela 1. Repetição dos anos

    Mas estamos esquecendo de um detalhe importante, os anos bissexto! A cada 4 anos  precisamos acrescentar um dia ao ano. E isto implica que no quinto ano, o deslocamento será  de dois dias e não de um dia da semana. Quando consideramos os anos bissextos, para que ocorra uma repetição do calendário, a o período não é mais a cada sete anos.  Considerando um ano de 365,25 dias, temos um total de 52 semanas  mais 1,25 dias. Para ocorrer a repetição é necessário multiplicar 1,25 por um número inteiro de tal forma que o resultado seja um múltiplo inteiro de 7 ,os dias das semana, ou seja precisamos resolver a equação $ 1,25 p=7q $, de forma que $p/q$ seja um número inteiro. Fazendo  a conta, encontramos que $ p/q=5,6 $. Como $p,q$ são números inteiros,  encontramos que a cada 28 anos  o calendário se  repete.

    Será verdade? Se olharmos por exemplo o ano de 2017, que começa em um domingo e termina em um domingo, encontramos que em 2023, o mesmo acontece. E o intervalo de tempo não é de 28 anos! O que está errado?

    Nada está errado. De fato, o calendário pode se repetir em períodos menores que 28 anos, mas a sequência completa, ela se repete a cada 28 anos. Na tabela 2 repetimos o procedimento utilizado para construir a tabela 1, agora incluindo os anos bissextos, que estão destacados com um fundo amarelo. Note que o correspondente ao ano 1 (domingo-domingo) ocorre novamente no ano 7 e no ano 18 (marcados com fundo laranja), mas note que o ano 2 é diferente do ano 8 e ano 19. Mas iniciando no ano 29, tudo se repete, notando que o ano 30 é igual ao ano 2,o ano 31 é igual ao ano 3 e assim sucessivamente.

Tabela 2. Considerando os anos bissextos.

    O que denominamos período é o intervalo de tempo para toda sequência voltar a ocorrer, isto não quer dizer que uma pequena parte da sequência não possa aparecer dentro do período. Por exemplo, considere a seguinte sequência de números 

1,2,3,5,6,7,1,3,4,5,6,1,2,3,4,6,7,1,2,4,5,6,7,2,3,4,5,7

1,2,3,5,6,7,1,3,4,5,6,1,2,3,4,6,7,1,2,4,5,6,7,2,3,4,5,7

1,2,3,5,6,7,1,3,4,5,6,1,2,3,4,6,7,1,2,4,5,6,7,2,3,4,5,7

    Notemos que a sequência completa repete a cada 28 números (que destacamos em cores diferentes), mas  por exemplo o número 5 aparece com intervalo menor que a cada 28 números [1].  Então o que ocorre com nosso calendário é algo parecido, a periodicidade de uma sequência ocorre a cada 28 anos, mas isto não implica que para que o calendário seja repetido sejam necessários aguardar 28 anos.    

    Mas o período de 28 anos, também não é correto! Por que? Quando calculamos os anos bissextos, a cada 100 anos, o ano não será bissexto, exceto se for múltiplos de 400 anos. Fica como uma diversão, tentar determinar como ocorrem as repetições dos calendários considerando estas condições de 100 e 400 anos.

    Nota

[1] A sequência representa exatamente o que ocorre com o calendário. Cada número representa o dia da semana que o ano inicia (por exemplo 1 é domingo, 2 é segunda-feira e assim sucessivamente). Você pode utilizar uma sequência semelhante para responder o desafio do que ocorre se consideramos os períodos de 100 e 400 anos. Se você sabe por exemplo utilizar uma planilha, consegue facilmente programar a construção da sequência numérica.

A Pseudo Telepatia Quântica

   

Xu et al 

       O nome infeliz de pseudo telepatia quântica, descreve uma consequência bastante interessante da mecânica quântica, sendo ilustrada em uma situação de um jogo que permite um grupo vencer  sempre, se  utilizarmos a mecânica quântica, mas com regras da física clássica, não seria possível vencer sempre.

   Este jogo é o denominado Jogo do Quadrado Mágico (Quadrado Mágico de Mermin-Peres) , que utiliza um tabuleiro de três linhas e três colunas, tendo dois jogadores, digamos Antônio e Bruna  e um juiz , digamos Xavier. A dinâmica do jogo sendo a seguinte. Inicialmente Xavier escolhe qual linha Antônio  deve preencher e qual coluna Bruna deve preencher. Esta escolha é realizada de forma aleatória, e Antônio não sabe qual coluna Bruna via preencher e nem Bruna sabe qual linha Antônio vai preencher. O preenchimento das linhas e colunas devendo ser feita com o número 1  ou o número -1, com a condição de que o produto dos números da linha de Antônio seja sempre +1 e da coluna de Bruna seja sempre  -1. Isto significa que Antônio pode escolher os seguintes conjuntos (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) e Bruna um dos conjuntos (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1) ,(-1,-1,-1). O jogo é uma disputa entre Antônio e Bruna contra Xavier. 

    E como é decidido o vencedor? Note que sempre vai existir um quadrado que será igual entre a linha escolhida por Antônio e a coluna escolhida por Bruna. Se o dígito neste quadrado for igual para Antônio e Bruna, os dois vencem, caso contrário Xavier vence a partida. Digamos que Xavier envie a informação linha 2 para Antonio e coluna 3 para Bruna. Na figura 1, indicamos a posição da linha e da coluna que devem ser preenchidas, com fundo branco e o quadrado comum em vermelho. É importante ressaltar que Antonio não sabe qual coluna Bruna vai preencher e Bruna  não sabe qual linha Antônio vai preencher.

Figura 1. No lado esquerdo um jogo que Antônio e Bruna são vencedores, no lado direito um jogo que Xavier é o vencedor. O # indica +1 para a escolha de Antônio  e -1 para escolha de Bruna. Lembre da regra do produto para as linhas e para as colunas 

    Digamos que Antônio escolhe os números  (1,1,1) , note que o produto é igual a +1 como exigido. Para preencher a sua linha e Bruna escolhe (1,1,-1) para a sua coluna, notando que o produto dos números é -1, como exigido pela regra. Neste caso Antônio e Bruna vencem, pois a intersecção da segunda  linha com a coluna três, é igual a 1  Mas se a escolha de Bruna fosse (-1,-1,-1)   quem venceria o jogo seria Xavier, porque na intersecção Antônia escolheu +1 e Bruna -1, logo são números diferentes.

    A regra permite que antes de começar o jogo, Antônio e Bruna podem conversar e decidir que estratégia seguir no jogo. Mas uma vez iniciado o jogo, Antônio e Bruna não podem mais trocar informações. Em um jogo normal (obedecendo a física clássica), é possível escolher uma estratégia na qual Antônio e Bruna vencem na maioria das vezes, mas não existe uma estratégia que permite Antônio e Bruna vencerem sempre. 

    Por exemplo, uma estratégia que Antônio e Bruna podem adotar  é preencher previamente a tabela com todas as possíveis combinações que resultem em uma vitória, isto é que o produto dos números da linha do Antônio seja +1 , o produto dos números da coluna de Bruna seja -1 e  o número no quadrado comum para a linha de Antonio e a coluna de Bruna tenham o mesmo número. O problema com esta estratégia é que sempre um dos quadrados estará em conflito. Um exemplo é apresentado na figura 2. Note que podemos trocar as ordens das colunas ou das linhas, de forma que o quadrado em conflito pode estar em qualquer lugar da tabela 3x3. Isto quer dizer que NÃO existe uma estratégia que garanta vitórias em 100% dos casos (é possível mostrar que no máximo é possível obter 8 vitórias em 9 jogos, o que não é muito ruim para Antônio e Bruna).

Figura 2. O quadrado vermelho tem que ser -1 para Antônio e +1 para Bruna.

    

    Isto quer dizer que classicamente, não é possível preencher o todos os quadrado com números +1 e -1 de tal forma que o produto em cada linha seja +1 e o produto em cada coluna seja -1. Desta forma não existe estratégia que permita vencer sempre o jogo.

    No entanto, se Antônio e Bruna utilizarem recursos da Mecânica Quântica,   podem vencer  sempre! Isto é possível produzindo um estado emaranhado de duas partículas, e enviando dois para  Antônio e dois para Bruna.

       Qual o procedimento a ser seguido? Quando Antônio recebe a informação de qual linha deve preencher, ele vai aplicar o operador correspondente da sua linha no seu par de partículas, e Bruna faz a mesma coisa utilizando o operador que estão na coluna informada por Xavier.  Após aplicar o respectivo operador nas seus pares de partículas, Antônio e Bruna realizam medidas no estado obtido, provocando o colapso da função de onda. Cada  um obtém dois números e o terceiro deve ser preenchido de acordo com a regra da paridade (para Antônio o produto tem que ser +1 e para Bruna tem que ser -1).  Por serem estados emaranhados, os resultados de Antônio e de Bruna estarão correlacionados e o quadrado em comum sempre terá o mesmo número! De forma que Antônio e Bruna sempre vencem! [1]

    Na prática, devido a existência de ruídos , o entrelaçamento pode ser perdido. Mas em situações em que seja possível controlar o ruído, o número de vitórias de Antônio e Bruna será sempre maior que o caso clássico. Este fato foi demostrado experimentalmente em 2022. Comparando o resultado clássico máximo de 8/9 (cerca de 88,89%) Xu et all, obtiveram  um percentual de cerca de 93,84% de vitórias para Antônio e Bruna, demonstrando que no caso quântico o percentual de vitórias é maior que o máximo permitido pela física clássica [2].  

    O Quadrado Mágico de Mermin-Perez, é mais do que uma curiosidade. Na verdade, inicialmente foi introduzida para discutir a questão da existência de variáveis escondidas na Mecânica Quântica , com uma extensão do Teorema de Bell. A verificação experimental  obtida por Xu et all, é um forte indício de que a nossa interpretação de que o Universo é realista, isto é, as suas propriedades existem independente de observarmos ou não, como defendia Einstein , Podolsky e Rosen (veja por exemplo em  Teorema de Bell e  Teletransporte Quântico ) não é compatível com a Mecânica Quântica.

Notas e Referências

Aqui nas notas, apresentamos alguns detalhes dos artigos, caso alguém queira mais detalhes. Mas o texto é independente destes detalhes, então para quem desejar, pode ignorar estas notas.

[1] Para quem tiver curiosidade, os operadores unitários são 

Fonte Brassard et all ou sua versão livre em Brassard

Os operadores $A_i$ são utilizados por Antônio e corresponde a linha $i$, e os $B_i$ são os utilizados por Bruna e correspondem a coluna $i$. E o estado inicial sendo 

o primeiro e o terceiro par sendo de Antônio e o segundo e o quarto de Bruna. Aqui o estado 0 representa+1 e  o estado 1 representa -1. No artigo é dado um exemplo de Xavier escolher a linha 2 para Antonio e a coluna 3 para Bruna, logo é calculado

Fonte  Brassard

que pode ser obtido após um longo e tedioso cálculo (só precisa realizar produto de matrizes e depois organizar os resultados).  Neste estado Antônio e Bruna realizam a medida para determinar seus bits clássicos, notemos que existem 8 possíveis resultados. Os dois primeiros quibts correspondem agora a de Antônio e o terceiro e o quarto a Bruna. Por exemplo, ao realizar a medida podemos obter o primeiro estado , no nosso caso seria (+1,+1) para Antônio e (+1,+1) para Bruna. Antônio completaria sua linha com +1 e Bruna com -1. Note que o quadrado comum tem o mesmo valor.Para todos os outros valores, sempre vai obter que o quadrado em comum tem o mesmo valor. Uma outra opção é a primeira lina e a primeira coluna, neste caso obtemos

Escolhendo a primeira linha e a primeira coluna.

 Note no primeiro caso Antonio obtém (+1,+1) e  Bruna (+1,+1) , no segundo caso Antônio obtém (+1,+1) e Bruna (+1,-1) e assim sucessivamente. O mais  importante é que o quadrado em comum sempre são iguais, e o quadrado restantes, cada um preenche com o número adequado para validar a sua paridade, 

[2] No artigo de Xu et al  (para acesso livre  ver em arxiv ) as matrizes o estado inicial são diferentes ao do proposto por Brassard , mas é um resultado que testa experimentalmente com bastante precisão, a validade da ideia da pseudo telepatia quântica. Eles utilizam o estado 

e como operadores 

Fonte Xu et all

Neste caso os operadores em cada linha comutam de dois a dois e o mesmo vale para as colunas. E o produto dos operadores em cada linha é igual ao operador unidade e  o produto dos operadores nas colunas é igual a menos a o operador unidade. Note que no quadrado em comum, Antôno e Bruna utilizam o mesmo operador. Sendo possível mostrar que neste caso temos 

indicando que no quadrado comum, os valores serão iguais.

Qual máxima temperatura o corpo humano suporta?

    

     Esta é uma pergunta bastante importante, principalmente com o aumento global da temperatura média na Terra. Nos últimos anos ondas de calor tem sido cada vez mais frequentes, e neste ano de 2023, no mês de outubro foi registrado pela primeira vez uma temperatura média acima de 2,0⁰C em relação ao período pré-industrial. Algumas regiões tem registrado temperaturas extremamente elevadas com temperaturas acima de 40⁰C em muitas regiões.

        O que ocorre com nosso corpo, se a temperatura externa estiver muito alta, como registrado neste ano em vários locais? Lembrando que o ser humano  mantem a sua temperatura corporal relativamente constante, que vai depender da pessoa, mas é cerca de 36⁰C a 37⁰C. em condições normais. Se a temperatura do ambiente for mais alta do que a do nosso corpo, vai ocorrer uma transferência de calor do ambiente para o nosso corpo. Se consideramos que nosso corpo gera uma quantidade de energia, mesmo em repouso, ao receber mais energia do ambiente, a temperatura do corpo vai aumentar SE não tiver um processo de dissipação de energia eficiente. Se a temperatura corporal exceder 40⁰C , sofremos um estresse térmico e entramos em sério risco para a nossa saúde. Desta forma é importante que mesmo que o ambiente esteja com temperatura acima de 40⁰C, nosso corpo consiga transferir de maneira eficiente de manter a sua temperatura corporal próximo da faixa normal. 

    Felizmente nosso corpo possui mecanismos de regulação da temperatura corporal  relativamente eficientes [1]. Um destes mecanismos   é o suor,  e o outro  é o aumento da circulação sanguínea do interior do corpo para a pele. O suor ao evaporar, ajuda a reduzir a temperatura do corpo e o sangue também ajuda a reduzir a temperatura interna, com um fluxo de calor da parte interna do corpo para a superfície do corpo. 

    Estes dois mecanismos resultam em um aumento no nosso metabolismo. Se a variação da temperatura externa estiver dentro de um certo limite, esse aumento no metabolismo não causará problemas para as pessoas.  Não existe ainda um valor exato e que seja válido para todas as condições ambientais, para  os limites inferior e superior considerados adequados para o ser humano. Mas uma faixa conservadora é de cerca de 28⁰C a 32⁰C (temperatura de bulbo seco) [3], nesta faixa nosso metabolismo não fica sobrecarregado para esfriar ou aquecer o nosso corpo .  Fora desta faixa,  ocorre um aumento no nosso metabolismo além do considerando normal. Lembrando que o aumento da circulação sanguínea ocorre devido ao processo de vasodilatação (para  o caso de aumento da temperatura). Aumentando diâmetro, para o fluxo sanguíneo não ser reduzido, o coração passa a funcionar com maior intensidade. E esta condição pode causar problemas, dependendo das condições de cada pessoa.

    Um estudo recente [2] indica que o estresse cardiovascular aumenta com a temperatura, sendo que dependendo da umidade relativa do ar, a temperatura critica  varia de 34⁰C (ar úmido) para 41⁰ C (ar seco) [3], este resultado tendo sido  obtido com  pessoas realizando atividades físicas leves dentro de um ambiente controlado.  Mas outros estudos indicam que mesmo pessoas que estejam em repouso, sofrem do estresse cardíaco, devido a variação na temperatura. Isto quer dizer que mesmo que estejamos apenas descansando, em uma área sem incidência solar, se a temperatura estiver alta, estamos em situação de estresse cardíaco .

      Mas qual seria a razão de que em condições de alta umidade, o estresse ser maior? O que ocorre é que em ambientes úmidos a evaporação se torna menos eficiente [3].    

      Podemos fazer uma estimativa da energia que é dissipada pela evaporação do suor, usando $Q=mL$ em que $m$ é a massa do suor (que vamos aproximar como água pura) e $L$ é o calor específico.   Para determinarmos a massa do suor, podemos utilizar uma estimativa de sudorese da ordem de 1 Litro por  dia ou 1kg por dia. Assim em um dia com a evaporação do suor, cerca de $ Q= (10³ g) ( 580 cal/g) =5,8 . 10^5 cal $ ou cerca de  2,43 MJ [4] são retirados do nosso corpo, ou se pensarmos em potência, seriam cerca de 28 W.  Em situações de grande sudorese, podemos perder uma quantidade maior de água. Por exemplo se perdemos 3 litros de água com suor, a potência dissipada será 3 vezes maior ou cerca de 90 W. Este é um valor para o ar seco. Para ar úmido a situação é outra, e taxa de resfriamento será menor, no entanto nosso organismo continuará a tentar reduzir a sua temperatura  corporal. Lembrando que estando o ambiente com temperaturas elevadas, a fonte externa continuará atuando. Isto é semelhante a manter um equipamento continuamente funcionando no limite,  e nesta situação a probabilidade de ocorrer uma pane no equipamento é maior do que quando está funcionando em situação normal. Assim,  mantendo este processo por muito tempo, uma pessoa pode entrar em um regime de estresse elevado, e ter problemas sérios de saúde. Mesmo estando sem realizar atividades físicas intensas.

    Respondendo a pergunta inicial, apesar de não conhecermos ainda o limite superior exato, sabemos que se a temperatura do bulbo seco for da ordem de 40⁰C (ou talvez um pouco menor), o que tem sido alcançado em vários locais,  nosso corpo começa a sofrer um estresse cardíaco. E este estresse for mantido por muito tempo, pode levar ao óbito, principalmente pessoas mais idosas ou com algum problema de saúde. Além do estresse cardíaco, podem ocorrer outros problemas de saúde, que ainda não conhecemos.  E infelizmente talvez  comecemos a ter mais dados, caso as temperaturas se mantenham neste patamar ou aumentem.

    A recomendação para os dias muito quentes, é evitar  locais com temperaturas elevadas, mesmo na sombra. Tomar muito líquidos. Se não for possível frequentar ambientes com ar condicionado, um ventilador é melhor que não ter ventilador. Mesmo não reduzindo a temperatura do ambiente, o ventilador ajuda no processo de evaporação e convecção, o  que ajuda na troca de calor [6].  

    Mas se a temperatura na Terra continuar a subir, chegará um momento que as temperaturas serão suficientemente elevadas, que não existirá condições de manter, mesmo que artificialmente, a temperatura reduzida para a maioria da população. A solução que devemos tomar, e de forma urgente, é  reduzir drasticamente a produção de resíduos térmicos que são transferidos para a atmosfera.  

Referências

[1] How hot is too hot for the human body? Study offers new insights 

[2] Onset of cardiovascular drift during progressive heat stress in young adults (PSU HEAT project). Rm. Cottle, KG Fischer, ST Wolf, WL Kenney, Journal of Applied Physiology (Bethesda, Md. : 1985), 22 Jun 2023, 135(2):292-299 https://journals.physiology.org/doi/abs/10.1152/japplphysiol.00222.2023  

[3] Normalmente a temperatura que são anunciadas são de bulbo seco.  Em estações meteorológicas as medidas de temperatura com bulbo seco e bulbo úmido, permitem determinar a umidade relativa do ar. No caso de termos umidade relativa do ar 100%, a temperatura do bulbo úmido é igual ao bulbo seco. Com umidades menores, a temperatura do bulbo úmido é menor que a  temperatura do bulbo seco.

[4] Para saber sobre como a umidade afeta o chamado "conforto térmico", veja por exemplo em Conforto térmico para humanos. É importante também diferenciar a temperatura de bulbo seco com a temperatura de bulbo úmido.

[5] Note que utilizamos como calor latente de evaporação o valor de 580 cal/g ao invés de 540  cal/g. Isto porque a evaporação não está ocorrendo em 100⁰C, e o calor latente de vaporização varia com a temperatura.  Este site possui uma calculadora do calor latente em função da temperatura.

[6] Ver por exemplo em  Ar movimentado por um ventilador é frio? . 

Buraco no Sol

 Extra, extra. “Um buraco gigantesco no Sol! Uma cratera gigantesca no Sol! Um buraco sessenta vezes maior que a Terra na superfície do Sol.” Recentemente apareceu nos jornais esta notícia com algumas variações. Será realmente um buraco no Sol?

Figura 1. O buraco coronal, em 03/12/2023. Fonte Nasa

    O Sol é basicamente um gás muito quente, mantido por reações nucleares (fusão nuclear) no seu interior. Este gás é tão quente que os átomos são ionizados (perdem seus elétrons), e esta mistura de átomos ionizados, formam o que denominamos plasmas. Na física sabemos que cargas em movimento geram campos magnéticos, e por outro cargas elétricas em movimento são afetadas por campos magnéticos. Isto gera uma dinâmica extremamente complexo do plasma solar.

    Uma destas consequências é formação de arcos como na figura 2, em que podemos ver a formação de um arco com início e fim na superfície solar.

Figura 2. Uma imagem de um arco na superfície do Sol (fonte Nasa)

    Neste tipo de arco solar, cada região do arco na superfície do Sol, tem polaridades diferentes (é como colocar limalhas de ferro na presença de um imã, as limalhas se alinham de um polo magnético a outro), e o arco faz a ligação entre estes dois polos magnéticos. Algumas vezes estes arcos são rompidos, ejetando material para o espaço, e que podem atingir a Terra. Uma simulação do que ocorre no Sol, pode ser acessado neste vídeo.

    O chamado buraco coronal aparece quando surgem regiões unipolares na superfície do Sol, isto é, uma única polaridade, e que são denominados campos magnéticos “abertos”[1] . Por serem abertos, as partículas carregadas podem ser transportadas por estas linhas de campo magnético para grandes distâncias. Nesta região do buraco coronal, a densidade do plasma e sua temperatura são menores do que nas suas vizinhanças (fora do buraco coronal) . No entanto, se for observado na faixa da radiação visível (luz), não é possível ver o este buraco coronal. Para que possamos ver o buraco coronal, é preciso observar em frequências maiores que a da luz visível, por exemplo no ultravioleta ou no raio-x mole.

    Um buraco coronal é formado na região da atmosfera solar denominado coroa solar, que é região da atmosfera solar, mais distante. Então é região longe da sua superfície.

    E uma buraco coronal é a mesma coisa que manchas solares?Seria o buraco coronal uma mancha solar gigantesca? Não, pois a mancha solar é formada na chamada fotosfera , que é uma camada da atmosfera mais profunda que podemos observar na faixa da luz visível, portanto sendo formada em uma região diferente do buraco coronal.

Foto 3. Um registro de manchas solares. Fotograma retirado deste video da Nasa.

    Assim os buracos coronais não são “buracos”, “fendas” ou “crateras” na superfície do Sol, mas uma região que é mais fria e menos densa que as regiões vizinhas, e sendo formado devido a existência de um campo magnético aberto. E sua existência não é rara no Sol. 

    Mas estes fenômenos por produzirem um feixe de partículas de alta energia, podem causar perturbações quando atingirem a atmosfera terrestre. Nos casos extremos podem afetar as comunicações na Terra. Esta é uma preocupação em relação a estes tipos de buracos coronais. Mas este que foi anunciado, não deve ser preocupante, não deve causar problemas aqui na Terra. Infelizmente, nossos problemas são gerados pela própria humanidade.

Notas

[1] Utilizamos “abertos” entre aspas, porque estes campos não são de fato abertos, pois as leis do eletromagnetismo não permitem. Então estamos na verdade observado apenas uma parte do campo magnético.

A origem do termo fóton

    Possivelmente o primeiro contato que temos com o termo fóton nos cursos de graduação, é quando estudamos física moderna, com a discussão do trabalho de Albert Einstein a respeito do efeito-fotoelétrico.

Ilustração do efeito fotoelétrico . Fonte

     Neste artigo (uma tradução em inglês do artigo pode ser acessado aqui ), é introduzido o conceito de quantum de luz , ou de acordo com  Einstein [1]:

A concepção segundo a qual a luz excitadora é constituída de quanta de energia (hv) permite conceber a produção de raios catódicos [elétrons] pela luz da maneira seguinte. Quanta de luz penetram na camada superficial do corpo; sua energia é transformada, pelo menos em parte, em energia cinética dos elétrons (...) 

    E neste artigo, o termo fóton não é utilizado nenhuma vez. De fato, este termo não tem origem no artigo de Einstein. O primeiro registro do termo fóton, aparece em uma carta que G. Lewis enviou para a revista Nature em 1926 [2].  Nesta carta aos editores, Lewis  inicia comentando  que  "nos  processos  nos quais  um átomo perde energia radiante, e outro átomo nas proximidades recebe a mesma energia, de forma abrupta e  única"  lembra os processos nos quais "uma molécula perde ou ganha um átomo  ou um elétron na sua totalidade, mas nunca uma fração de um ou de outro". E comenta que graças a genialidade de Planck, posteriormente Einstein desenvolveu a ideia do quantum de luz, sendo que mais adiante Lewis   escreve que: 

 

" Tomo a liberdade de propor para este hipotético novo átomo, que não é luz, mas possui um papel essencial em todos processos de radiação, o nome fóton."

    Lewis, apresenta a ideia  de que o número de fótons seria uma grandeza conservada, e ressalta que esta ideia aparentemente traz dificuldades para explicar alguns fenômenos observados (resultados de espectroscopia de sistemas atômicos), mas comenta que tem a esperança que seja possível utilizar o conceito de conservação de fótons para derivar algumas propriedades que são observados, e que não entre em conflito com os dados observados, mas que até o momento "não tinha ainda conseguido" uma construção adequada.  Assim, a proposta do fóton apresentada por Lewis é diferente do conceito de quantum de luz , introduzido por Einstein em 1905, e sendo importante ressaltar que o número de fótons, não é uma grandeza conservada.

    A primeira utilização do termo fóton (de acordo com [3]), no sentido que atualmente utilizamos, foi devido a Arthur Compton, que o utilizou o termo no Congresso de Solvay de 1927.  

V Congresso de Solvay, 1927.

 Os Anais do V Congresso de Solvay, tinha como título "Elétrons e Fótons", mas o termo fóton não aparece em nenhum dos títulos dos trabalhos apresentados no Congresso, mas aparece  nos registros da palestra de A. Compton, que cita a carta de Lewis [4]:

"Em relação a esta unidade de radiação, eu usarei o nome "fóton", sugerido recentemente por G.N. Lewis ...Quando comparado com os termos "quantum de radiação" a "quantum de luz", este nome tem a vantagem de ser curto (...) "

    Posteriormente, ao receber o Prêmio Nobel, em dezembro do mesmo ano, A.H. Compton voltaria a utilizar o termo fóton em sua palestra durante a cerimônia de recebimento do Prêmio Nobel [5]. 

    Desta forma o termo fóton, surge mais de 20 anos após o artigo de Einstein de 1905, e apesar do termo ter sido sugerido para uma outra situação,  foi    A.H. Compton,   que (re)utilizou o termo fóton  para descrever o "quantum de luz", como utilizamos atualmente.

   

    

Notas e referências

[1]Versão em português,  de  Einstein e seus Trabalhos de 1905 e 1915 , de autoria de Ildeu de Castro Moreira, 2005.

[2] Lewis, Gilbert Newton. (1926) “The conservation of photons,” Nature 118 (2981): 874-875

[3] L.B.Okun, 2006. Photon: history, mass, cahrge, Acta Physca Pol.B, v37, 565-573, pode ser acesso neste link.

[4]No original "In referring to this unit of radiation I shall use the name `photon', suggested recently by G. N. Lewis. a This word avoids any implication  regarding the nature of the unit, as contained for example in the name  `needle ray'. As compared with the terms `radiation quantum' and `light quanta',  this name has the advantages of brevity and of avoiding any implied dependence upon the much more general quantum mechanis or quantum theory of atomic structure.". Este artigo  pode ser acessado em  Quantum Theory at the Crossroads: Reconsidering the 1927 Solvay Conference .

[5] A.H. Compton, 1927, X-rays as a branch  of optics, Nobel Lecture, pode se acessado neste link.

A tensão de Hubble, ou a constante que não é uma constante

     Na cosmologia, um parâmetro importante é a chamada constante de Hubble, que como o título deste texto já informa, não é uma constante. O seu valor varia com o tempo,  mas para as escalas de tempo características da humanidade, a sua  variação é desprezível [1]. Alguns autores preferem utilizar o termo parâmetro de Hubble, mas o termo constante de Hubble é a mais utilizada, e não costuma causar confusões.

    A constante de Hubble apareceu na literatura científica em um artigo de Edwin Hubble em 1929, que ao observar galáxias distantes, obteve um resultado de que elas  estavam sempre se afastando da nossa Galáxia, com  a velocidade de afastamento aumentando com a distância.

Figura 1. Gráfico apresentado por E. Hubble em 1929

    O gráfico acima sugere a existência de  uma relação entre a velocidade de afastamento das galaxias (v) no eixo vertical, em função da sua distância (D) no eixo horizontal, algo como $ v=H D$ [2]. Com a análise destas observações, Hubble obteve um valor de H=500 km/(s. Mpc). Desde 1929, dados mais precisos tem sido obtidos, por exemplo este gráfico apresentado em  Hubble’s Law and the expanding universe 

Figura 2. Fonte :https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1424299112

que contém uma amostra de galáxias muito maior do que a utilizado por Hubble em 1929, e um valor muito menor que a obtida por Hubble (ver mais abaixo)

   A constante de Hubble, está relacionado com a taxa de expansão do Universo. E quando falamos "taxa", estamos falando por exemplo como algo varia em relação  a alguma grandeza. A velocidade de um objeto é a taxa da variação de uma distância  percorrida em um certo intervalo de tempo, e a aceleração é a taxa da variação da velocidade em um certo intervalo de tempo.  A constante de Hubble é expressa em km/(s.Mpc), como podemos interpretar esta taxa de variação? E variação do que?  Vamos considerar para simplificar que a constante de Hubble seja 100 km/(s.Mpc). Podemos ler  as unidades como "a taxa de variação da grandeza (km/s) a cada Mpc". A grandeza que varia é a velocidade (taxa de variação da distância pelo tempo) e estamos medindo como a velocidade varia quando variamos a distância. Isto que dizer que a cada 1 Mpc de distância, a velocidade aumenta por  100 km/s.  Se estamos medindo a taxa de variação da velocidade, então a constante de Hubble estaria medindo a aceleração? NÃO.  Vamos imaginar para simplificar que a velocidade de expansão na lei de Hubble  não varie com o tempo. Neste caso, considerando a equação que descreve um movimento sem aceleração podemos escrever $D=vt$, e utilizando a Lei de Hubble para a velocidade, obtemos $D= H D t$, logo $t= 1/H$. Este valor fornece o tempo que decorreu desde o inicio quando os dois objetos estavam juntos até o instante que estavam separados pela distância d. Se consideramors que no inicio do Universo todos os objetos estariam em um único ponto , então 1/H forneceria (nesta aproximação) a idade do Universo e não a sua aceleração. É importante salientar que a nossa construção é aproximada, mas com uma análise mais cuidadosa utilizando as equações da Relatividade Geral, nos indicam que de fato a constante de Hubble , ou melhor a sua inversa 1/H, está relacionado com  idade do Universo. Desta forma, conhecendo o valor da constante de Hubble podemos determinar a idade do Universo.

    Mas para determinarmos de forma adequada como varia a constante de Hubble com o tempo, necessitamos ter algumas informações importantes, em especial o que contém no Universo,  e como estão distribuídos e qual as sua constituição. Atualmente, o modelo mais aceito para a descrição do Universo é o chamado modelo Lambda-CDM, que é uma modelo baseado na Relatividade Geral, com o Universo constituido de matéria  denominada ordinária (nossos átomos), da matéria escura (proposto pela primeira vez por Fritz Zwick em 1933) e da energia escura , detectada inicialmente em 1998 [4].

Figura 3: Os constituintes do Universo

    Na figura 3, apresentamos um gráfico com o percentual atual de cada um dos constituintes em nosso Universo, notemos que a matéria ordinária corresponde a menos que 5% do nosso Universo, e atualmente é dominado pela chamada Energia Escura. Ainda não sabemos o que são a energia escura ou a matéria escura, mas a sua existência (ou a consequência da existência) são observados nos dados coletados em observações astronômicas, sejam as realizadas pelos  observatórios na Terra, ou  no espaço e  em diversas faixas de frequências.

    Uma maneira de verificar a presença da matéria escura e a energia escura, é realizando simulações de como o Universo evoluiu logo após o seu início. Com estas simulações  podemos obter dados sobre estes momentos do Universo primitivo, e o mais importante, podemos observar as consequências destas simulações,  observando o que denominamos Radiação Cósmica de Fundo (detectado acidentalmente pela primeira vez em 1965, por Arno Penzias e Robert Wilson, mas com previsão teórica da sua existência, obtida em 1948 por R. Alpher e R. Hermann. Penzias e Wilson receberam um Nobel pela descoberta, mas Alpher e Hermann não foram lembrados). Observado esta radiação, podemos obter informações mais precisas sobre a constante de Hubble. 

Figura 4. Dados da radiação cósmica de Fundo obtido pelo satélite Planck.

    A figura 4, representa os dados obtidos pelo satélite Planck, lançado pela Agência Espacial Européia (ESO), e conjuntamente com os dados pioneiros do satélite COBE e WMAP , lançados pela Agência Espacial Americana (NASA), permitiram determinar com muita precisão o valor atual da constante de Hubble em cerca de H = 67 km /(s. Mpc) , um valor bem menor do que a obtido inicialmente por Hubble em seu artigo original.

    No entanto, o valor da constante de Hubble obtidas com medidas astronômicas (isto é das galáxias), não são compatíveis com os dados obtidos pelo satélite Planck. 

Figura 5. Evolução do valor da constante de Hubble ao longo dos anos, ver em fonte.

    Na figura 5, apresentamos os dados das determinações da constante de Hubble ao longo dos anos, e notamos que as medidas realizadas pelo WMAP (em verde) e pelo PLANCK (em vermelho), são bem diferentes dos dados obtidos com observações de objetos astrofísicos (as galáxias). Uma hipótese era que as medidas astrofísicas poderiam conter alguns erros devido a calibração ou o modelo utilizado para calibrar as distâncias.

    Mas os dados obtidos pelo telescópio Hubble e recentemente confirmados pelo James Webb, não são compatíveis com os dados obtidos pelo satélite Planck  e excluem a possibilidade de erros de calibração. Os dados recentes do James Webb, mostram que as medidas obtidas com o telescópio Hubble e as medidas obtidas com o telescópio James Webb são compatíveis.

    

Figura 6. Comparação dos dados do James Webb (vermelho) e do Hubble (cinza), ver em fonte.

    Estes dados indicam que o valor da constante de Hubble é cerca de H=73 km/(s.Mpc), indicando uma taxa de expansão superior ao previsto pelos dados obtidos com medidas da radiação cósmica de fundo [5]. 

    O gráfico da figura 7  (ver em fonte ), mostra que as medidas obtidas com a radiação cósmica de fundo (no gráfico aparece CMB measurements) e as medidas obtidas com fontes astrofísicas (no gráfico aparece local distance-ladder).

Figura 7: Evolução das discrepâncias na constante de Hubble desde 2000.

    No gráfico fica bem claro que a partir de 2010, com a melhora dos dados observacionais, a diferença foi se tornando mais evidente. Estes dados indicam que algo não está sendo devidamente considerado nos modelos utilizados para as análise dos dados. Diversas possíveis soluções tem sido propostas nos últimos anos, desde considerações de erros sistemáticos até novas teorias físicas. 

Figura 8. Comparação da previsão do modelo Lambda-CDM com os dados de observações astrofísicas.

    A figura 8, retirado do artigo da Science , mostra a curva de evolução da constante de Hubble com a evolução do Universo, baseado no modelo Lambda-CDM  (curva cheia) e o valor da constante de Hubble obtido com dados do telescópio Hubble/James Webb. O modelo Lambda-CDM estando calibrado com os dados da radiação cósmica de fundo. É importante ressaltar que nos modelos utilizados em Lambda-CDM, são compatíveis com os dados da radiação cósmica de fundo , e também são compatíveis com modelos de formação de galáxias (pelo menos até as observações do James Webb, que indicam algumas possíveis discrepâncias entre a previsão do modelo e a observação de galáxias bem antigas). Isto implica que mudar os parâmetros do modelo Lambda-CDM pode trazer maiores discrepâncias com outros dados observacionais. E isto causa a chamada tensão de Hubble. Um tema bem atual na cosmologia.

    Qual será a reposta correta? Ainda é muito cedo para que possamos ter uma reposta mais consensual, pois no momento existem diferentes propostas em estudos [6]. Em pouco mais de 100 anos, passamos de um Universo estático, para um Universo em expansão,  e compreendendo um pouco mais sobre o nosso Universo, conseguimos descrever nosso Universo até um passado distante de dezenas de bilhões de anos, com grande precisão,  graças ao desenvolvimento de técnicas observacionais e modelos teóricos. 

Sobre possíveis soluções, é interesante ler este atigo da Science, que finaliza com [7]

Muitos cosmologistas acreditam que a tensão de Hubble será resolvida."Alguém encontrá uma solução, diz Golstein. "Eu não espero que em em 100 anos as pessoas ainda estejam focadas na tensão de Hubble. Mas Eskilt diz que a solução em si pode ser tão misteriosa como, digamos, a matéria escura. “Poderíamos estar na mesma posição em que sabemos que existe uma fonte de energia escura primitiva, mas não temos ideia do que seja.

Então talvez a solução deste problema, pode trazer outros problemas para serem resolvidos, mas esta é forma que a Ciência tem avançado: a solução de problemas gerando novos problemas para serem estudados. 

Notas e Referências

[1]Na literatura para indicar que estamos tratando da constante de Hubble no seu valor atual costumamos escrever $H_o$, mas neste texto optamos por simplesmente dizer "constante de Hubble" e omitir o subscrito. 

[2] Mpc é a abreviatura de Megaparsec sendo uma unidade de medida adequada para ser utilizada para informar distâncias entre galáxias. Corresponde a cerca de   3.1 10¹⁹ km,  para termos uma noção desta distância, um raio de luz demoraria cerca de 3,3 milhões de anos para percorrer esta distância, sendo que para percorrer a distância do Sol para a Terra a luz demoraria cerca de 8 minutos.

[3] Para uma dedução simples da Lei de Hubble para uma Universo Homogêneo e Istotrópico (para distâncias pequenas), pode ver o artigo   A Lei de Hubble e a Homogeneidade do Universo, publicado na RBEF em 199.

[4] O termo CDM corresponde a Cold Dark Matter (matéria escura fria) e Lambda a constante cosmológica, que corresponde a parte da energia escura. Em 1917, Albert Einstein introduziu a chamada constante constante cosmológica, com a intenção de conseguir descrever um Universo estático. Com os resultados de E. Hubble, mostrando que o Universo não era estático, a constante cosmológica foi abandonada. Mas a presença de energia escura,  pode ser interpretada como a uma constante cosmológica, mas que ajuda a expandir o Universo. 

[5] Para quem  desejar dados com os erros, a do Hubble/James Webb  H0 = 73.0 ± 1.0 km s−1 Mpc−1  e do Planck H0 = 67.4±0.5 km s−1 Mpc−1 , portanto são dados incompatíveis.

[6] Ver por exemplo   Perivolaropoulos, F. Skara,, Challenges for ΛCDM: An update, New Astronomy Reviews, Volume 95, 2022, 101659, https://doi.org/10.1016/j.newar.2022.101659 ou no  Arxiv com acesso livre.

 [7] No original "Most cosmologists still think the Hubble tension will be resolved. “Someone will find some solution,” Goldstein says. “I don’t expect 100 years from now people will still be focusing on the Hubble tension.” But Eskilt says the solution itself could be as mysterious as, say, dark matter. “We could be in the same position where we know that there is a source of early dark energy, but we have no idea what it is.”

A fotoionização é um processo que demora quanto tempo?

    Todo estudante de física é apresentado na disciplina de física moderna, com o chamado efeito fotoelétrico ( fotoionização), que é o processo que ocorre quando incidimos uma radiação em um metal e ocorre a emissão de um elétron. O limite do início da emissão, dependendo da frequência da radiação e não da sua intensidade. Para explicar este fenômeno, Albert Einstein introduziu o conceito de quantum de luz, que hoje denominamos como fóton [1].  Um simulador bem interessante é o disponível no site do PHET.  Vale a pena utilizar o simulador, como complementação ao estudo do tema (principalmente nos locais sem um laboratório adequado de física, que infelizmente, é a norma nos cursos de física no Brasil. Nas disciplinas de física moderna, no processo de fotoionização , não consideramos o intervalo de tempo entre a recepção da radiação  e a emissão do elétron. Isto é explicado porque todo processo envolve mais de uma partícula, o que torna a sua abordagem muito além do que abordamos nos cursos de física moderna.  Por ser um processo de muitos corpos, quando a radiação incide no elétron a ser retirado do átomo, a interação deste elétron com os outros elétrons do átomo deve causar um atraso entre a recepção da radiação e a liberação do elétron pelo átomo. No entanto este tempo deve ser muito pequeno, difícil de ser medido experimentalmente, de forma que nos livros textos este tempo é completamente negligenciado de forma geral.

    Mas com o desenvolvimento das técnicas de medidas em atosegundos ($10^{-18} s$) (que rendeu o Nobel de Física de 2023 [2]) a situação passa a ser possível de ser testada experimentalmente. Em um artigo de 2010 Shultze e colaboradores ,  determinam uma diferença de tempo na fotoemissão  de elétrons liberados do orbtal 2p em relação aos elétrons liberados do orbital 2s dos átomos de neon [3]. Neste trabalho, eles reportam uma diferença de $ 21 \pm 5 $  atosegundos, entre a emissão dos elétrons do orbital 2s em relação ao orbital 2p. Um tempo extremamente curto!

    Mas esta diferença no tempo não é compatível com os modelos teóricos . O processo de fotoionização não é um problema de um único elétron, pois ao ionizarmos o átomo de Neon, os elétrons remanescentes ficam submetidos a um potencial elétrico diferente , sendo assim um problema de muitos corpos. De forma que a diferença entre os modelos teóricos e os dados experimentais, indicavam que algo não estava sendo corretamente considerado nos modelos teóricos ou no procedimento experimental. Este impasse durou alguns anos.

    Esta situação somente seria resolvida com a publicação de um artigo em 2017 de  Isinger e colaboradores  . Neste artigo, os autores consideraram o chamado efeito de shake-up no cálculo da diferença entre os tempos de emissão. Este efeito ocorre quando um elétron é retirado das camadas internas de um átomo, deixando um buraco no íon, isto causa uma excitação coletiva no sistema. Neste processo um parte da energia do elétron resultante da fotoionização acaba sendo transferida para este processo de excitação coletiva. No artigo de Isinger, foram analisados o processo de fotoionização de um elétron do orbital 2p conjuntamente com o processo de excitação de um elétron de 2p para 3p (efeito de shake up).

    

Figura 1. Ilustração do shake-up (adaptado de Borrego-Varillas)

    Na figura 1 apresentamos esquematicamente o efeito shake-up. O elétron fotoionizado está representado na parte superior (indicado como "Elétron ionizado" na figura 1) e o elétron excitado de 2p para 3p  esta indicado por "Transição" na figura 1. Os resultados obtidos, levando em consideração o efeito de shake-up está apresentado na figura 2 , na qual o valor teórico está representado pela linha cheia. O eixo horizontal é a energia do fóton

 Figura 2. A curva escura é o modelo teórico. Os círculos amarelos e vermelhos são os dados experimentais do artigo  citado. 

    Os dados da diferença no tempo de emissão $ \tau(2s) -\tau(2p)$ entre os dois níveis (o eixo vertical na figura 2) obtidos por Isinger e colaboradores são os círculos amarelos e os círculos vermelhos (as cores representam os feixes de fótons obtidos com diferentes tipos de filtro). O quadrado é o dado experimental do artigo de Schultze, mostrando  que o resultado não é compatível com o modelo teórico (a linha cheia escura).  

   A existência deste atraso, como resultado do movimento coletivo dos elétrons, é um resultado excepcional. Se os lasers de femtosegundos permitiram o estudo de movimento dos átomos e das moléculas (e rendeu o Nobel de Quimica de 1999), as fontes de atosegundos abrem novas perspectivas para o estudo de movimentos coletivos de elétrons dentro de diferentes sistemas, além do desenvolvimento de novas tecnologias experimentais [3]. 

    E respondendo a pergunta do título: a ionização não é um processo imediato (instantâneo), mas ocorre em tempos de atosegundos e atualmente podem ser medidos experimentalmente. Estes cálculos apesar de serem bastante elaborados, a informação de que o processo não é instantâneo pode e deve constar nos livros textos de introdução à Física Moderna.

    

Referências

[1] O termo atualmente utilizado fóton para o quantum de luz, foi introduzido em 1926 por GN Lewis em outro contexto dizendo que o fóton seria  " hipotético átomo, que não é a luz, mas tem um papel essencial em todos os processos de radiação“, mas posteriormente foi incorporado na literatura da física como atualmente a utilizamos e não a proposta original de Lewis. Ver por exemplo em https://www.aps.org/publications/apsnews/201212/physicshistory.cfm, em que o trecho destacado no texto aparece como “I therefore take the liberty of proposing for this hypothetical new atom, which is not light but plays an essential part in every process of radiation, the name photon.”

[2] Foram agraciados  Pierre Agostini, Ferenc Krausz e Anne L’Huillier, ver em https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2023/summary/ . Para um texto em português, ver no   jornal da unesp ou no site do CREF.

[3] O átomo de Neon tem dez elétrons e sua configuração eletrônica satisfaz $ 1s^2, 2s^2,2p^6$