fevereiro 14, 2022

O paradoxo de Zenão e a Mecânica Quântica

    Aquiles resolveu desafiar para  uma corrida, sua  amiga tartaruga, e como imaginava que era muito mais rápido que a tartaruga, resolveu dar uma vantagem para ela. Era uma corrida de apenas 100 metros, e Aquiles disse para a tartaruga "eu espero você chegar na marca de 50 metros, antes de começar a correr". Para ajudar a verificar a lisura na aposta, Aquiles convidou seu amigo Zenão para ajudar na organização. Nas casas de apostas, Aquiles era o favorito! Ninguém queria apostar na tartaruga.  Mas ao saber das condições da corrida, Zenão resolveu apostar sua fortuna na tartaruga. Quando soube disso, Aquiles ficou furioso com seu amigo! "Ah Zenão, como você faz isso comigo? Acha que vou perder a corrida para a tartaruga?". Zenão olhou para Aquiles, e suspirando respondeu "Sim, amigo. Você vai perder." E antes que Aquiles ficasse mais furioso, explicou o seu raciocínio. 

"Para você alcançar a tartaruga, que inicia 50 metros na frentes, antes você precisa percorrer a metade da distância, que é 25 metros. Mas para atingir a distância de 25 metros, você precisa antes percorrer a metade desta distância, que é 12 metros e meio". Aquiles que já estava furioso, ficou mais ainda. " E dai? Qual o problema". Zenão olhou tristemente seu amigo, e continuou a explicar "Pois então, meu amigo, você sempre terá que vencer a metade da distância. E como para cada trecho, sempre podemos achar a metade, este processo continua indefinidamente, e vamos ter infinitos pedaços. Nunca vai conseguir atingir a tartaruga, meu amigo."         Aquiles ficou mais furioso e gritou "Eu sou mais rápido que uma flecha! Não vou perder para uma tartaruga!". Zenão, continuou a olhar tristemente para o seu amigo. "Aquiles, a flecha quando está em voo, ocupa sempre o mesmo espaço, o mesmo espaço que ocupa quando está em repouso. Logo a flecha não se movimenta". Zenão apenas complementou "O movimento é uma ilusão." Aquiles que antes estava nervoso, ficou sem saber o que dizer, mas Aristoteles que estava assistindo tudo, murmurou rapidamente "é tudo uma falácia".

  Apresentamos acima,  de uma forma bem livre, os chamados Paradoxos de Zenão,  um filósofo grego , que viveu no período de (490-430 AC), e que foi discípulo de um outro filósofo grego, Parmênides. A ele são atribuídos diversos paradoxos relativo ao movimento, que são descritos nos escritos de Aristóteles [1].  E o que os Paradoxos de Zenão tem a ver com a mecânica quântica?

    Um artigo que trouxe o tema para a física foi publicado em  1977, e nele  Misra e Sudarshan [2] argumentam que 

    " Uma partícula instável que é observada continuamente para verificar se ela decaiu ou não decaiu, nunca será detectada como decaida. Como isso lembra o famoso paradoxo de Zenão sobre a impossibilidade do movimento de uma flecha em voo, denominamos este resultado de paradoxo de Zenão na teoria quântica."

    Antes de continuar, um spoiler : não existe paradoxo de Zenão quântico. O termo que é utilizado atualmente é Efeito Zenão Quântico, pois não existe nenhum paradoxo no problema. O resultado é  uma consequência da  mecânica quântica [3], não sendo necessário nenhuma modificação na sua estutura.

    Mas o que é o Efeito Zenão Quântico? Em palavras simples é o efeito de inibir mudanças em um sistema, quando são efetuadas medidas no sistema em estudo. Em um sistema quântico podemos calcular a probabilidade de ocorrer algum evento, por exemplo, o decaimento de um sistema. O procedimento é relativamente simples,   e basicamente necessitamos determinar as interações existentes no sistema (o que normalmente torna o desenvolvimento  bem mais complexo). Conhecendo as interações, determinamos como o sistema evolui com o tempo, e com isto podemos calcular qual a probabilidade de ocorrer algum evento em particular. O que o Efeito Zenão Quântico descreve é a supressão o decaimento devido a interação deste sistema com um outro sistema, quando consideramos intervalos de tempo relativamente pequenos. No limite, esta interação (observações) impediria um sistema de mudar, o que levou os autores do artigo [2] a citar o paradoxo de Zenão. 


Figura 1. Ilustração do Efeito Zenão Quântico (figura adaptada de [3]).


    A figura 1, ilustra o Efeito Zenão Quântico,    no eixo vertical apresentamos a probabilidade de não ocorrer um decaimento e no eixo vertical representamos  o tempo. O gráfico em traço representa  o que ocorre sem a realização de medidas[4] e em vermelho quando são efetuadas medidas periódicas, a cada período $\tau$, uma medida é realizada  no gráfico são cinco medidas,indicamos com uma flecha os instantes das medidas $\tau, 2\tau, 3\tau, 4\tau, 5\tau $.  Notemos que a probabilidade de não ocorrer o decaimento, diminui mais lentamente quando se realizam as medidas (o gráfico em vermelho)  em relação ao caso sem medidas (gráfico em traço). (O gráfico é adaptado do artigo [3] )

        Desde 1980, diversos experimentos tem comprovado o Efeito Zenão Quântico, utilizando técnicas bem distintas, como polarização de fótons, condensados de Bose Einstein, ions e outras técnicas.  Um assunto que iniciou mais como uma questão conceitual, mas hoje pode nos  ajudar por exemplo  a controlar o que denominamos decoerência quântica em computação quântica. E o que seria a decoerência quântica e computação quântica? Um assunto que vamos tratar nos nossos próximo textos. 

Referências

[1] Para quem desejar conhecer um pouco mais sobre Zenão, é o site https://opessoa.fflch.usp.br/FiFi-19 de uma disciplina ministrada pelo Professor Osvaldo Pessoa Jr, vale a pena dar uma lida. Outro site é https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ ,   Huggett, Nick, "Zeno’s Paradoxes",The Stanford Encyclopedia of Philosophy(Winter 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.).  

Em  http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.6.vi.html , é possível acessar uma versão em inglês do livro Física de Aristóteles. No site um trecho que cita Zenão é "Zeno's reasoning, however, is fallacious, when he says that if everything when it occupies an equal space is at rest, and if that which is in locomotion is always occupying such a space at any moment, the flying arrow is therefore motionless. This is false, for time is not composed of indivisible moments any more than any other magnitude is composed of indivisibles."

[2] Do original "An unstable particle observed continuously whether it has decayed or not will never befound to decay! Since this evokes the famous paradox of  Zeno denying the possibility of motion to a flying arrow,  we call this result the Zeno's paradox in quantum theory." B. Misra e E.C.G. Sudarshan, J.Math.Phys 18, 756 (1977). 

[3]P. Facchi e S. Pascazio, J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 493001, Topical Review. acesso livre em https://arxiv.org/abs/0903.3297

[4] O termo medida não significa necessariamente a presença de um observador,  mas a interação com um sistema externo (que pode ser um aparelho de medida ou outro sistema quântico).  


fevereiro 07, 2022

A desigualdade de Bell

     Em 1935, Einstein, Podolsky e Rosen publicaram o artigo  (conhecido como artigo  EPR) [1] no qual argumentam que a mecânica quântica não seria uma teoria completa. Apesar de Niels Bohr ter publicado no mesmo ano uma resposta ao artigo EPR, a física teve que esperar cerca de 30 anos para que fosse  possível apresentar uma resposta consistente e que pudesse ser verificada experimentalmente. E isto foi possível, graças ao trabalho de John Bell que publicou um artigo em 1964 [2], no qual apresentou o que hoje denominamos teorema de Bell.  A desigualdade de Bell é uma consequência deste teorema. E o que seria esta desigualdade de Bell? 

    Antes de introduzir a desigualdade de Bell (ou uma das desigualdades), vamos apresentar brevemente o argumento apresentado no artigo EPR, usando uma formulação devido a Ya. Aharanov e D. Bohm, que utiliza um sistema de spin de duas partículas. O spin é uma propriedade quântica que não tem sua contrapartida na física clássica, e quando uma partícula com spin 1/2 é medido possui apenas duas possibilidades de resultado, usualmente representado como +1 e -1. E como sabemos? O spin do elétron quando na presença de um campo magnético, é desviado da sua trajetória e este desvio depende do valor do spin. O resultado deste experimento é de que apenas dois resultados são possíveis, e isto independente de como o campo magnético do aparelho esteja orientado.  Esquematicamente apresentamos este experimento (conhecido como o experimento de Stern Gerlach, de um artigo publicado em 1922) na figura 1.

Figura 1. Representação esquemática do experimento de Stern Gerlach. By Tatoute - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34095239



  Utilizando este sistema de dois estados, podemos construir um estado emaranhado de duas partículas, que representamos como

$\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\Psi_{(+)} \Phi_{(-)}- \Psi_{(-)}\Phi_{(+)} \right) $

e não se assuste com a equação.  Apenas passamos para uma forma de equação a representação que utilizamos anteriormente, que apresentamos novamente na figura 2 [3].

Figura 2. Representação esquemática do estado emaranhado. 

   O primeiro termo na equação   deve ser  lido como "a partícula 1 tem spin +1 e a partícula 2 tem spin -1", e o segundo termo  deve ser lido como "a partícula 1 tem spin -1 e a partícula 2 tem spin +1", e a equação toda corresponde a um estado de superposição. Nesta situação se efetuarmos a medida na partícula 1 e  obtivermos como resultado +1, a medida na segunda partícula deve resultar em -1.  Na mecânica quântica, é a medida que faz com que o spin seja +1 ou -1, antes da medida está em um estado de superposição. E isto independente da distâncias entre as duas partículas. O que o artigo de EPR argumenta é de que não é o processo de medida que faz com que o spin seja +1 ou -1, mas de que existe algum mecanismo ainda desconhecido, que não está sendo considerado na descrição do sistema, e como consequência   a medida se apresenta como probabilística. Se fosse possível ter todas as informações ,  poderíamos  dizer com certeza qual o resultado da medida. A analogia é na brincadeira da moeda cara-e-coroa, se fosse possível ter todas as informações, teríamos condições (a princípio) de dizer com certeza se o resultado de jogar a moeda seria cara ou coroa. Portanto, para os autores do artigo EPR, a mecânica quântica seria uma teoria incompleta (mas não uma teoria errada).

O que John Bell apresentou foi uma possibilidade de verificar experimentalmente se existiria ou não alguma variável que não estaria sendo considerada pela mecânica quântica. E neste caso, o fato da partícula 1 ter spin +1 e a partícula 2 ter spin -1 (ou vice-versa) não seria um resultado da medida, mas sim uma propriedade do sistema que não estaria sendo contemplado pela mecânica quântica. E neste caso, não haveria o problema de transmissão de informação  instantânea, pois as propriedades de ter apin +1 ou -1 já estaria presente na partícula e não seria resultado do processo de medida. 

De forma esquemática,  o procedimento seria o seguinte. Um sistema emaranhado de duas partículas é produzido, e cada par é enviado para duas pessoas, que mantendo a tradição da física, serão a Alice e o Bob.  Este par é produzido de tal forma que se uma das partículas tem spin +1 e outra terá spin -1 (considerando uma mesma direção de orientação para medir o spin de ambas as partículas). Alice tem a liberdade de escolher as direções   para realizar a medida do spin da sua partícula,  e igualmente Bob tem a liberdade de fazer suas escolhas de direções para a medida do spin na sua partícula.  As escolhas das direções sendo realizadas aleatoriamente e de tal forma que não seja possível ocorrer uma transmissão de sinal entre Alice e Bob que possam influenciar os resultados, isto é, Alice faz suas medidas de forma independente de Bob e vice-versa. Ambos recebem uma grande quantidade de pares e vão fazendo suas medidas e coletando os resultados.  Por ser um sistema de dois estados, os possíveis resultados das medidas podem ser representados como +1, e -1, independente da direção escolhida para fazer a medidas.  Alice faz uma tabela com os resultados obtidos em cada uma das direções escolhidas e Bob faz a mesma coisa.   A partir destes dados, é possível montar diferentes relações (as chamadas desigualdades de Bell) e comparar o resultado obtido com a previsão da mecânica quântica.  

Para a construção da desigualdade de Bell, assumimos que a medida de Alice  não influencia e medida de Bob (dizemos que é um critério de localidade) e que cada partícula tem um spin definido, não sendo resultado do processo de medida (dizemos que é uma visão realista do mundo). Estas duas hipóteses, formam  a visão de uma natureza localmente realista [4]

Para obter a desigualdade de Bell, vamos considerar que no nosso experimento, Alice e Bob podem realizar medidas em três direções, que representamos pelas letras a,b,c.  E a condição que temos que considerar é que se para uma partícula a=+1 para  outra terá que ser a=-1  e vice-versa, e igualmente para as outras duas direções. Assim,  vamos inicialmente considerar  que a partícula 1 tenha (a,b,c)=(+1,+1,+1), então necessariamente a partícula 2 deve ter (a,b,c)=(-1,-1,-1).  Se consideramos todas as possíveis combinações de sinais, devemos ter um total de  8 pares, sempre considerando que a mesma componente do spin, nas duas partículas devem ser opostas. A tabela 1, ilustra estas  oito combinações possíveis [5]

Tabela 1. Valores das componentes do spin para as duas partículas. Em destaque o caso com a=+1 e c=-1, respectivamente para as partículas 1 e 2.



Na primeira coluna indicamos a frequência que estas combinações aparecem no experimento. Os valores das frequências obtidas em cada situação, não é importante, mas precisamos lembrar que são todos números positivos. 

    Vamos imaginar que Alice faz uma medida na direção a, obtendo a=+1 e Bob faz a sua medida na direção c, obtendo c=-1. Neste caso, ou a situação é a descrita por $n1$ ou $n3$, isto é a frequência que Alice obtém a=+1 e Bob obtém c=-1, é dado pela soma $n1+n3$ (ver o destaque em vermelho na tabela 1). Outra possibilidade é Alice medir na direção b e obter b=-1 e Bob medir na direção c e obter c=-1. Olhando na tabela, esta situação corresponde a $n3$ e $n7$, portanto a frequência de resultados com (Alice) b=-1 e  (Bob) c=-1 será $n3+n7$.  E podemos continuar com diversas outras combinações de resultados.   Vamos começar com uma igualdade

$n1+n3= n1+ n3$

e como as frequências são positivas, podemos construir a desigualdade

$n1+n3\le n1+n2+n3+ n7$

Notemos que $n1+n3$ é a frequência que ocorre  resultado de partícula 1 com a=+1 e partícula 2 com c=-1 e vamos representar como $p(a+,c-)$ , e $n3+n7$ a frequência que ocorre o resultado da partícula 1 ter b=-1 e a partícula 2 ter c=-1 e que vamos representar como $p(b-,c-)$ , como já vimos antes. O termo $n1+n2$, olhando a tabela, corresponde a ter para a partícula 1 a=+1 e para a partícula 2 b=-1, que vamos representar como $p(a+, b-)$, logo podemos escrever

$p(a+, c-)\le p(b-,c-)+p(a+,b-)$

obtendo uma desigualdade, que pode ser comparada com a previsão da mecânica quântica e/ou testada experimentalmente.  Como podemos trabalhar com diferentes escolhas de pares de medidas, podemos obter outras desigualdades, portanto temos todo um conjunto de desigualdades de Bell. É importante ressaltar que para obter este resultado, não utilizamos a mecânica quântica (exceto o spin), e  assumimos que a correlação entre as componentes do spin é uma propriedade da partícula e não o resultado da medida. Outra condição é de que a correlação é produzida localmente. Isto é a desigualdade de Bell expressa a existência de uma propriedade real das partículas, independente da medida e que as interações são locais. (Dizemos que a desigualdade de Bell expressa uma visão de mundo que é localmente realista).

    Experimentos para testar a desigualdade de Bell, tem sido realizados desde os anos de  1970 [7], principalmente após a publicação de uma versão da desigualdade de Bell (conhecida como desigualdade de CHSH [8], que se mostrou mais adequado para implementação experimental)  e em todos os experimentos a desigualdade de Bell é violada! Isto implica que das duas hipóteses (realismo e localidade)  utilizadas para a obtenção da desigualdade de Bell,   uma delas está errada ou ambas estão erradas. Não exclui necessariamente a existência de variáveis ocultas, mas torna a sua existência bem mais restrita.

Figura 3. John Bell  olhando a desigualdade de CHSH, que preve o valor de 2 e o valor obtido pela mecânica quântica $2\sqrt{2}$ que viola a desigualdade. (http://cds.cern.ch/record/969981 )

     Podemos dizer que o teorema de Bell está completamente demonstrado? A rigor não, pois existem possíveis brechas nos experimentos, apesar de serem brechas cada vez mais restritas [7]. Talvez fechar todas as brechas, não seja uma tarefa possível. No entanto, é interessante que um assunto que aparentemente não teria nenhuma aplicação imediata (o teorema de Bell e suas desigualdades), pode ser fundamental para a construção de um sistema de criptografia quântica [8]. Talvez a chamada segunda revolução quântica torne o que era uma área negligenciada pela física (a área de fundamentos da mecânica quântica) em uma área de intensa pesquisa, quem sabe antes do esperado ano da física quântica em 2025.

[1] Einstein, A., Podolsky, B. & Rosen, N. Can quantum-mechanical description of physicical reality be considered complete? Phys. Rev. 47, 777 (1935).

[2] J. S. Bell, “On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox,” Physics 1, 195 (1964) ou em J. S. Bell, “Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics,” (Cambridge University Press, Cambridge, 2004)

[3] O fator de $1/\sqrt{2}$ e o fato de utilizarmos uma subtração e não uma soma (como na representação da figura 2), não é importante no momento.

[4] B. d' Espagnat, The Quantum Theory and Reality, Scientific American, novembro de 1979.

[5] Ver por exemplo  no livro do J.J. Sakurai Mecânica Quântica Moderna. A obtenção da desigualdade de Bell, como realizado em [2] pode ser lido de forma bem didática no livro de D. Griffiths, Mecânica Quântica. 

[7] Alain ASpect, Closing the door on Einstein and Bohr’s quantum debate. Physics 8, 123 (2015)

[8] Uma demonstração simples de como obter a desigualdade de CHSH, pode ser vista em M.A. Nielsen e I.L. Chuang Quantum Computation and Qunatum Information, Cambridge  University Press.

[9] Iulia Georgescu, How the Bell tests changed quantum physics, Nature Reviews, 2021.



janeiro 31, 2022

O colapso da função de onda

 
    Os sucessos   da mecânica quântica, são um forte indício de que as leis fundamentais na física, sejam quânticas. Das quatro interações fundamentais que conhecemos [1], três delas possuem uma formulação quântica com excelentes comprovações experimentais, e a quarta interação que é a gravitação, ainda aguarda por testes experimentais, mas os indícios que necessitamos de uma teoria de gravitação quântica, são bem convincentes. No entanto, existem questões importantes na mecânica quântica que ainda não sabemos como responder. 
    
    Na mecânica quântica, a resolução da equação de Schroedinger tem  o objetivo  de obter   a função de onda  e a partir dela descrever as propriedades  do sistema em estudo.  Na visão usual (a chamada interpretação de Copenhagen) a função de onda descreve de maneira completa o sistema em estudo,  e a equação de Schroedinger nos permite determinar como a equação de onda evolui com o tempo.   Isto é semelhante ao que é realizado na física clássica, como por exemplo na mecânica clássica. Com a solução da equação de Newton, podemos obter uma equação que descreve a trajetória da partícula, e a partir dela, obter  todas as informações da dinâmica da partícula. Mas estas  semelhanças são superficiais, pois existem diferenças fundamentais [2] entre a mecânica quântica e a mecânica clássica (a física clássica) , e algumas destas diferença   vamos apresentar a seguir, concentrando no chamado colapso da função de onda.

    
    Uma questão importante é  como a partir da função de onda, podemos obter alguma informação sobre o sistema? Na mecânica quântica, para cada grandeza física atribuímos um operador. De forma bem simplificada, um operador  é um conjunto de regras a ser aplicado em um outro objeto, e no caso específico  da mecânica quântica, o operador é aplicado em uma função de onda.  Usando a construção que introduzimos no texto sobre estados emaranhados, podemos representar a ação do operador (que representamos com a letra Z na figura 1) como

Figura 1. Representação de um operador atuando em uma função de onda.


e que devemos entender como "o operador Z atua na função de onda" [3]. E qual o resultado desta ação do operador na função de onda? Obtemos como resultado, o valor da grandeza física representada pelo operador.  No exemplo da figura 1a o resultado da atuação do operador é " a moeda é cara" e  na figura 1b  o resultado é "a moeda é coroa" [4].  Se repetirmos a medida imediatamente após a primeira medida, no caso 1a o resultado vai continuar a ser "moeda  é cara" e no caso 2a , "moeda é coroa". ( É importante reafirmar que no  nosso exemplo "moeda é cara" ou "moeda é coroa", representa um sistema que possui apenas duas possibilidades de resultado, e representa um sistema quântico. É  uma analogia com a  grandeza denominado spin que utilizamos na mecânica quântica. O conceito de spin, algumas vezes é introduzido na disciplina de química no ensino médio, quando estudamos os átomos.)

    Agora vamos considerar o caso de superposição , como a da figura 2.  Lembrando que na mecânica quântica, a função de  onda deve considerar todas as possibilidades que o sistema  pode apresentar. No nosso caso, como temos as duas possibilidades "moeda é cara" e "moeda é coroa", além das duas funções de onda apresentadas na figura 1, devemos ter  uma outra que contemple a possibilidade de ter AMBAS as possibilidades.   Quando  efetuamos a medida (representada pelo operador Z) neste estado de superposição,  temos duas possibilidades de resultados: moeda é cara ou moeda é coroa, cada um com 50% de chances de ocorrer. Esta  é em essência a interpretação probabilística da mecânica quântica.   Mas se repetirmos a  medida ("atuar com o operador Z")  imediatamente depois de uma medida, algo diferente vai ocorrer. Se o resultado  da primeira medida for "moeda é cara" , a medida imediatamente depois resultará com 100% de certeza em "moeda é cara", e se o resultado da primeira medida for "moeda é coroa", a medida imediatamente depois resultará com 100% de certeza em "moeda é coroa".  Aquela incerteza inicial (poderia ser cara ou coroa) agora deixou de existir!  O diagrama da figura 2, ilustra esta situação

Figura 2 Medida inicial no estado de superposição e medida imediatamente depois


    Após a primeira medida no estado com superposição,  obtido um resultado (moeda é cara ou moeda é coroa) as medidas imediatamente depois, mantém o mesmo resultado. Isto é, na segunda medida já não temos a mesma função de onda inicial (a com superposição). Para que isto ocorra, a função de onda inicial foi modificada, já não sendo a função de onda com a superposição inicial de "moeda é cara" e "moeda é coroa" [4].  Dizemos que ocorreu um colapso na função de onda.

    Este colapso da função de onda, é na construção padrão da mecânica quântica, um postulado. Não é algo que decorre por exemplo da utilização da equação de Schroedinger. É um postulado que mostra compatibilidade com os dados experimentais de forma excepcional, mas se pensarmos em termos de fundamentos da mecânica quântica, é uma lacuna ainda a ser preenchida: não sabemos como ou porque ocorre o colapso da função de onda.  
 
    Uma situação que talvez ilustre  a noção do colapso da função de onda de  forma mais interessante, é quando desejamos por exemplo determinar aonde está  a partícula, usando um exemplo  apresentado por Einstein (ver figura 3) no Congresso de Solvay de 1927 [5]. Considere uma partícula descrito pela equação de Schroedinger, e que incide em um anteparo com um pequeno furo. Nesta situação, após o furo (suficientemente pequeno) a função de onda ira se espalhar como uma onda esfericamente simétrica, centrada no furo. Em um local depois do anteparo com o furo, temos uma tela que  serve como detector (no local que a partícula atingir, a tela apresenta um brilho), representado na figura 3 pela lina vermelha. O que será detectado é a presença de um único ponto na tela. Uma vez que um ponto na tela detecte a presença da partícula, nenhum outro ponto na tela pode brilhar (e não ocorre, lembre que estamos tratando de um situação de uma partícula por vez). De acordo com a descrição ortodoxa da mecânica quãntica, o que  ocorre é que uma vez que a partícula é detecada, a função de onda sofre um colapso, isto é, a  função de onda que ANTES da detecção estava em todo espaço, ao ser detectada (medida) se torna localizada em torno do ponto de detecção (representado por um ponto amarelo na figura 3). 



Figura 3 A caixa de Einstein



Na figura 4 apresentamos esquematicamente no eixo horizontal uma posição no detector, e no eixo vertical o valor  do módulo quadrado da função de onda , representado como $| \Psi|^2$. Após sair do furo  como a probabilidade de ser detectado na tela é a mesma para qualquer ponto , temos uma reta horizontal para o módulo quadrado da função de onda (gráfico (a) na figura 4). Após a detecção, que ocorre em um único ponto na tela,  a função de onda (ou melhor, com o módulo quadrado da função de onda) deve ficar concentrada em torno deste ponto (gráfico (b) na figura 4).

Figura 4. Representação do módulo quadrado da função de  onda antes (a) e depois (b) da deteção.

    Einstein ao apresentar esta construção, argumentava que se a função de onda fosse uma descrição completa, era difícil aceitar este processo de colapso, por outro lado se representasse uma coleção de partículas , não haveria este problema, e que neste caso implicaria que a mecânica quântica não seria uma teoria completa (mais tarde em 1935, Einstein , Rosen e Podolsky, publicariam um artigo sobre o tema, e em 1964 J. Bell apresentaria uma proposta de como testar experimentalmente esta hipótese , veja o texto anterior do blog [6]). Atualmente existem resultados experimentais, que demonstram fortemente que a proposta da mecânica quântica não ser uma teoria completa, não se sustenta.  

    Existem diferentes propostas para tentar explicar o que causa o colapso da função de onda,  de forma que não seja um postulado, mas uma consequência do modelo teórico.  Mas devido as dificuldades experimentais, ainda não temos condições de dizer quais destas propostas estão corretas.  Talvez nos próximos anos,  pelo menos algumas propostas possam ser descartadas com dados experimentais mais precisos. Entender o colapso da função de onda, talvez explique também  as razões de não observamos em nosso cotidiano a superposição de estados e os estados emaranhados, típicos de sistemas quânticos. 

 

[1] Alguns dados experimentais, indicam que talvez exista uma outra interação que ainda não conhecemos. Mas por enquanto, ainda são hipóteses a serem testadas com mais rigor.

[2]     No  livro A philoshopical essay on probabilities (1814, em francês), Pierre Simon de Laplace, introduz o que atualmente denominamos "Diabo de Laplace", que seria capaz de determinar com precisão o futuro do Universo (caso tivesse acesso a todas as condições iniciais), expressando uma visão determinista do Universo presente na mecânica Newtoniana. Na mecânica quântica, o Demônio da Laplace não conseguiria fazer esta determinação.

[3]  Caso esteja curioso como seria escrito na forma de equação, seria algo como $ \hat Z \Psi_V$ ou $ \hat Z \Psi_A$, onde $\Psi_V$ seria a função de onda da moeda vermelha e $\Psi_A$ a função de onda da moeda azul (cara) ,  No caso da figura 2, seria algo como $\hat Z  \Psi_A \Phi_V  + \Psi_V  \Phi_A$, onde $\Psi_V,\Psi_A$ corresponde a função de onda da primeira moeda e $\Phi_A, \Phi_V$ corresponde a função de onda da segunda moeda.  

[4] Modificada para que tipo de função de onda? Para o que denominamos autofunção do operador que representa a grandeza física, no caso uma função de onda onde "a moeda é cara"  (figura 1a) ou "a moeda é coroa" (figura 2a).

[5] T. Norsen, Einsten's boxex, Am.J.Phys, 73 (20, 164 (2005), que pode ser acessado livremente em https://arxiv.org/abs/quant-ph/0404016 .


janeiro 24, 2022

Estados emaranhados em mecânica quântica

    Atualmente a utilização de estados emaranhados (ou estados entrelaçados) em física, tem trazido contribuições importantes para a compreensão da mecânica quântica, com aplicações em situações que seriam impossíveis  (ou muito ineficientes) sem a utilização destes estados emaranhados. O interessante é que os estados emaranhados   surgiram  inicialmente como uma crítica à mecânica quântica.

    Erwin Schroedinger, um dos autores da moderna mecânica quântica, foi um forte crítico da mecânica quântica, conjuntamente com Einstein! Em um artigo de 1935,   a frase "Podemos elaborar até um caso ridículo." [1] introduz a descrição do extremamente popular experimento do gato vivo-morto de Schroedinger.  É importante ressaltar que Einstein e Schrodinger (e outros críticos) não contestavam os resultados da mecânica quântica (as suas previsões e realizações comprovadas em experimentos), mas  situações que do ponto de vista de fundamentos, não eram bem explicados pela postura ortodoxa da mecânica quântica (ou eram evitados pela postura ortodoxa). Também em  um artigo de  1935 Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen [2],  argumentam que a mecânica quântica seria uma teoria incompleta, e uma resposta satisfatória para questões apresentadas, só foi possível após três décadas.  Neste texto, não vamos nos ater nas questões trazidas por ambos, de forma que  para quem tiver interesse em conhecer um pouco mais sobre o assunto, uma recomendação seria o livro [3] ou o artigo [4]. Vamos tratar do que seria o emaranhamento quântico. 


    Para entender o emaranhamento, é importante antes conhecer o chamado Princípio da Superposição, que tem um papel muito importante na mecânica quântica.  Vamos considerar um sistema que possui apenas duas possibilidades de resultados. Você com certeza deve conhecer um bem comum: uma moeda de duas faces.  Neste caso, nosso sistema pode ter dois possíveis resultados "cara" ou "coroa". No caso da física clássica (a física de Newton que aprendemos na escola)  existem apenas estas duas possibilidades.  Dizemos então que nosso sistema pode estar no estado "moeda é cara" ou " moeda é coroa", sendo estados excludentes na física clássica. Ou é um estado ou é o outro.  Mas na mecânica quântica (lembrando que nossa moeda representa um sistema quântico), o Princípio da Superposição nos permite uma outra situação, e nossa moeda pode ser cara E coroa! Você  talvez pergunte, "entào, se eu olhar a moeda vou ver cara E coroa? " . A resposta é um sonoro Não! Ao olhar a moeda, o resultado será  cara ou coroa. Então como sabemos que ocorre esta superposição? Fazendo um experimento SEM medir se é cara ou coroa! Um experimento que muita gente já ouviu falar é o da dupla fenda, que você pode imaginar como um sistema de duas possibilidades: passar por uma fenda ou outra. Neste experimento, SE não determinamos por qual fenda passou o objeto, observamos justamente a superposição de dois estados, que na tela aparece como um padrão que denominado padrão de interferência.  Por outro lado, SE nosso experimento permitir a determinar por qual fenda a partícula passou, deixamos de observar o padrão de interferência.  Independente dos detalhes, a dupla fenda é um entre diversos experimentos que indicam  a validade do Princípio da Superposição.

    Mas vamos retornar para a  nossa moeda, e utilizar a ideia de que a função de onda na mecânica quântica contém todas as informações do sistema. No nosso exemplo, temos duas informações : a moeda é cara, moeda é coroa. Para representar a função de onda, vamos imaginar que a informação "moeda é cara", "moeda é coroa" esteja delimitado por uma caixa como nos desenhos na figura 1 (representamos cara com a cor azul, e coroa com a cor vermelha).  A figura 1a seria então a função de onda com a informação que a moeda é cara, a figura 1b  a função de onda da moeda é coroa e a figura 1c a função de onda com a superposição destas duas possibilidades. O caso do estado de superposição representado na figura 1c, NÃO deve ser visualizado como sendo um estado de duas moedas, mas de apenas uma moeda. Para enfatizar esta situação,  utilizamos o símbolo de soma $+$ e deve ser lido como "nosso sistema foi preparado no estado moeda cara e moeda coroa". Para saber o que contém a caixa, precisamos "abrir a caixa", ou na linguagem da física "efetuar uma medida".  Enquanto não realizarmos a medida (abrir a caixa), não tem sentido (pelo menos para uma visão ortodoxa da mecânica quântica) perguntar se a moeda dentro da caixa  é cara ou coroa. O assunto "efetuar uma medida" em mecânica  quântica é extremamente atual e importante,  um tema que vamos tratar em um outro texto, aqui vamos apenas utilizar a noção mais instrumental, de que medir nos devolve um resultado. 
    
Figura 1. Em (a) a moeda é cara, em (b) moeda é coroa e em (c) a representação do estado de superposição permitido pela mecânica quântica.


    Agora vamos considerar uma situação com duas moedas e imaginar uma construção onde  se a primeira moeda for cara a segunda será coroa e se a primeira moeda for coroa a segunda será cara.  Vamos usar uma convenção de representar a moeda UM SEMPRE  no lado esquerdo da moeda DOIS.  Na nossa construção,  é importante perceber  que se a moeda UM for cara, a moeda DOIS será coroa, e vice-versa. pois nosso sistema é preparado desta forma. Esta relação não tem nada excepcional, e pode ser produzida na física clássica [4]. A figura 2 representa  a nossa função de onda descrevendo estas duas possibilidades (lembrando agora que temos duas moedas), na esquerda temos a representação de uma situação na qual a moeda UM é cara e a moeda DOIS é coroa, e na direita a situação inversa.

Figura 2. Representação de duas possibilidades para o caso de duas moedas.



    
    Mas como na mecânica quântica vale o princípio da superposição linear, devemos levar em consideração a situação onde a moeda um é cara e a moeda dois é coroa E a situação onde a moeda um é coroa e a moeda dois é cara, como representada na figura 3 (novamente atenção , não se engane com a representação na figura, pensando   como sendo 4 moedas, pois são apenas DUAS moedas). Este estado de superposição não ocorre na física clássica.

Figura 3. Uma situação de superposição com duas moedas.



Este estado é o nosso estado emaranhado. Mas antes de continuarmos, é importante ressaltar que nem todos as situações com superposição de duas moedas é um estado emaranhado. Por exemplo, o caso em que a moeda UM é sempre cara e a moeda DOIS pode ser cara ou coroa, está representado na figura 4, e não é um estado emaranhado, mais adiante mostro a razão de não ser considerado emaranhado.


Figura 4. Um exemplo de uma superposição não emaranhado






O estado emaranhado,  descreve uma  situação que não é contemplado pela física clássica, e isto fica bem.ilustrado quando resolvemos verificar se a moeda UM é cara ou coroa. Quando isto é realizado (dizemos que efetuamos uma medida), vamos obter cara ou coroa, mas o que torna o sistema interessante, não é este resultado (moeda UM cara ou coroa), mas o fato de que SE  moeda UM for cara, a moeda DOIS será necessariamente coroa  e vice-versa.  No caso da superposição representado na figura 4, o fato de medirmos a moeda UM e obter o resultado cara, não faz com que a moeda DOIS tenha um resultado definido, continua podendo ser cara ou coroa, mas na situação do estado emaranhado, o resultado da medida na moeda UM é fortemente correlacionado com a  resultado na medida na moeda DOIS. E isto independente das duas moedas estarem perto! Elas podem estar separados por uma grande distância, e mesmo assim o fato de medir a moeda UM, influencia o resultado da medida na moeda DOIS. Esta situação não agradava Einstein (além de outras questões, talvez mais do que esta situação), pois implicava na violação da Teoria da Relatividade, que impõe como limite máximo da velocidade de propagação de informações, e no estado emaranhado a impressão é que a informação do resultado da medida na moeda UM se propaga instantaneamente para a localização da moeda DOIS.   A frase  "ação fantasmagórica" expressa a discordância de Einstein com esta possibilidade. Para contornar esta situação, Einstein argumentava que apesar dos sucessos da mecânica quântica, ela era uma teoria incompleta. E com uma teoria mais geral, estas e outras  inconsistências seriam sanadas. 

Vamos fazer uma breve digressão matemática, bem simples  que espero ajude a clarear um pouco o significado de estado emaranhado.  Para isto, vamos representar a condição "moeda é cara" com a letra $x$ e a condição "moeda é coroa" com a letra $y$. E outra convenção que a moeda UM será representada por uma letra maiúscula sempre na esquerda e a moeda DOIS por uma letra minúscula sempre na direita [6]. Neste caso, representamos "moeda UM é cara" e "moeda DOIS é coroa" como $Xy$ lembrando que   a ordem é importante,  desta forma, $Yx$ representa  "a moeda UM coroa e a moeda DOIS cara", que é diferente da situação $Xy$. Exceto por esta regra, as outras regras que aprendemos na escola, como a distributiva (isto é, $a(x+y)=ax+ay$ ) continuam válidas [6]. Desta forma nosso sistema de duas moedas,  para  o caso emaranhado que apresentamos é representado como $Xy+Yx$.  Além deste estado, vamos considerar  o  caso representado por $Xy+ Xx$, que descreve um sistema com a moeda UM sendo  cara a moeda DOIS sendo coroa E moeda UM sendo cara , moeda DOIS sendo cara e que afirmamos  não ser um estado emaranhado.  Vamos verificar esta afirmação.  Se utilizamos a regra da distributiva podemos escrever  $Xy+Xx=X(y+x)$, e notemos que o termo entre parenteses representa o estado da moeda DOIS, de forma que o estado da moeda UM fica separado do estado da moeda DOIS, ou de  forma pictórica, conseguimos fazer a separação

(estado da moeda UM) (estado da moeda DOIS)

e quando isto é possível de ser realizado, o estado NÃO é emaranhado. No caso $Xy+Yx$  não é possível escrever na forma descrita acima (se você tem familiaridade  para trabalhar com matemática, em [7] indico como demostrar de forma bem simples).

Durante muitos anos, a crítica de Einstein (de que a mecânica quântica não era uma teoria completa) não tinha como ser respondida de maneira mais enfática, com algum tipo de experimento. Mas em 1964, John Bell apresentou o que conhecemos como desigualdade de Bell, que permitiu verificar experimentalmente se a mecânica quântica era uma teoria incompleta. E os resultados indicam que Einstein estava errado em sua crítica. Sobre a existência da ação fantasmagórica , o consenso atual é de que não ocorre transmissão de informações que possam ser utilizadas de maneira útil no emaranhamento que viole o princípio da relatividade. Esta ação "fantasmagórica" é uma característica da mecânica quântica, que não é uma teoria local. 


    E algo que (possivelmente) Einstein não imaginava é que a ideia de estados emaranhados, acabou sendo uma proposta fundamental para entendermos melhor a mecânica quântica, e abrindo novas aplicações para a mecânica quântica. Estudos como criptografia, computação quântica, metrologia quântica utilizam estados emaranhados, e sem esta compreensão destes estados, possivelmente nenhum destes temas teriam se desenvolvido (pelo menos com as características  atuais).

    Uma pergunta interessante é porque foi necessário tantos anos até demonstrar que a ideia de Einstein da mecânica quântica não ser completa não se sustentava? Uma razão sem dúvida alguma foi a necessidade do desenvolvimento de novas técnicas experimentais, mas talvez tenha ajudado os resultados positivos da mecânica quântica, que não dependiam de ser a ideia de Einstein correta ou não. Isto fez com que a ideia expressa na chamada Escola de Copenhagen, (que estabeleceu  por exemplo os princípios básicos da interpretação da função de onda, que utilizamos neste texto), acabasse prevalecendo e discussões que hoje consideramos como fundamentais foram considerados "sem sentido", por não ser possível dar uma reposta experimental (ao artigo do EPR, Niel Bohr apresentou no mesmo ano, um artigo contrapondo a ideia expressa por Einstein e colegas, mas não havia como dizer experimentalmente quem estava correto).  Hoje, graças ao trabalho iniciado por Bell, e ao desenvolvimento da capacidade experimental, a situação é outra. E a discussão de questões dita de "interpretação da mecânica quântica", passaram  a fazer parte das atividades de pesquisa em física. 




[1] O artigo Schroedinger tem uma versão traduzida para o inglês em 1980 por J.D. Trimmer  "The Present Situation in Quantum Mechanics: A Translation of Schrödinger's "Cat Paradox" Paper". Proceedings of the American Philosophical Society124 (5): 323–338. JSTOR 986572

[2] O artigo de Einstein, Rosen e Podolsky pode ser acessado livremente em https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.47.777 

[3]  T. Norsen, Foundation of Quantum Mechanics, Springer, 2017.

[4] O. Freire Jr. O centenário debate sobre a interpretação e os fundamentos da Física Quântica. Revista Brasileira de Ensino de Ciências e Matemática, v. 4, n. 3, 2 set. 2021.http://seer.upf.br/index.php/rbecm/article/view/12911/114116177

[5] Um exemplo para quem estudou física newtoniana é a colisão de duas partículas, que quando utilizamos a lei de conservação do momento total, faz com que conhecendo o momento de uma partícula, o  momento da outra partícula fica automaticamente determinada.  Ou o caso de um sistema de duas partículas com energia total conservada. Basta medir a energia de uma das partículas e a outra ja fica determinada.

[6] Esta necessidade de manter a ordem em um produto, pode parecer estranho, mas em situações cotidianas, a ordem de execução é importante. Imaginemos a atividade de "passar sabão em um prato para lavar" e "enxaguar o prato". Se mudarmos a ordem para "enxaguar o prato" e depois "passar sabão no prato", o resultado será diferente do caso anterior!

[7] Vamos assumir que seja possível fazer a separação, de forma que seja possível escrever  $Xy+Yx=(aX+bY)(cx+dy)$, com $a,b,c,d$ números e você não precisa se preocupar com a ordem que aparece . Desenvolva o produto no lado direito da equação, obtendo
$Xy+Yx=(abXx+acXy+ bcYx+bdYy)$ . Como os dois lados tem que ser iguais, devemos ter $ab=0, ac=1, bc=1, bd=0$. Não podemos escolher $a=0$, pois não satisfaz a equação $ac=1$, então devemos escolher $b=0$. Mas esta escolha não satisfaz a condição $bc=1$. Ou seja, nenhuma escolha é possível. Isto implica que a hipótese inicial é falsa.


janeiro 17, 2022

Cristal do tempo

    Para quem acompanha noticiários de ciências e tecnologias, deve ter escutado ou lido o termo "cristal do tempo" em algum noticiário, seja na televisão ou em algum site.    Mas o que seria um cristal do tempo? Alguma pedra com propriedades místicas? Algo para viajar no tempo? Não, nada disso, é um assunto muito interessante e fundamentada em pesquisas bem realizadas, e um assunto que pode gerar uma nova compreensão da física de sistemas com muitos corpos.
    
    Vamos começar fazendo um relato rápido da cronologia  (linha do tempo) da ideia do cristal do tempo. Em 2012    Franz Wilczek (*)   comenta após considerar o papel da quebra de simetria em teorias físicas que  "(...)  é natural levantamos a questão se a simetria de translação temporal pode ser quebrada espontaneamente em um sistema descrito pela mecânica quântica."  E para esta questão, o autor afirma que  sim, e sistemas que apresentam este tipo de comportamento, denominou de cristal do tempo [1].  Após a publicação do artigo, Patrick Bruno apresentou argumentos que invalidavam a ideia do cristal do tempo  em modelos semelhantes ao utilizado por Wilczek. Alguns anos depois Watanabe e Oshikawa, apresentaram uma formulação mais geral do que seria um cristal do tempo, e demostraram que não poderia existir na forma proposta por Wilczek.   Mas a ideia da sua existência  não foi  descartada, e com  modificações  na proposta original,  a ideia do cristal do tempo ganhou um novo fôlego, e passou a ser estudado como um  novo estado da matéria [2].  Após esta bem rápida apresentação histórica, a pergunta é: mas o que é um cristal do tempo?

    Podemos dizer que um cristal do tempo é um sistema que  se repete no tempo. No entanto, esta é uma explicação extremamente simplificada, pois muitas coisas possuem esta propriedade, e são conhecidos muito antes do artigo de  2012  que apresentou o conceito do cristal do tempo.  Um exemplo é um relógio, ou a  sequência dia-noite, e muitos outros que estamos acostumados, e estes casos cotidianos, apesar de serem padrões que repetem no tempo, não são classificados como cristal do tempo. Então, precisamos de mais alguma informação para caracterizar o termo.  Podemos começar com uma definição um pouco mais  precisa, e afirmar que:

        um cristal do tempo é um sistema físico no qual a simetria por translação temporal é espontaneamente quebrada.  

    Mas, exceto para quem estuda física (e mesmo assim, depende da  área de atuação), a frase acima não ajuda muito, e com certeza não é adequada para explicar o que é o cristal do tempo para  não físicos.  Uma definição precisa, apesar de ser importante, nem sempre nos ajuda na compreensão de algo novo. Principalmente se não estamos acostumados com os termos específicos do assunto em estudo.  Então, como um primeiro passo vamos explicar os significados dos termos simetria, translação temporal e espontaneamente quebrada na frase que define o cristal do tempo.

    O termo simetria, para a física está associado a uma propriedade que se mantém  ao realizamos algum tipo particular de transformação (modificação) no sistema em estudo. A existências de simetrias, nos ajuda  a resolver alguns problemas, e explicar muitos fenômenos físicos importantes. Algumas simetrias podem ser visualizadas, em especial as relacionadas com objetos geométricos, outras são mais abstratas e sem possibilidades de visualização.  Vamos considerar um exemplo que podemos visualizar e que está diretamente relacionado com o nosso assunto. Inicialmente, vamos pensar em um sistema que é apenas um  espaço  vazio, e escolher arbitrariamente um ponto neste espaço. Sendo um espaço vazio, qualquer ponto que escolhermos, não vai fazer diferença: o espaço vai ser exatamente o mesmo, quando visto por qualquer um dos pontos no espaço. Podemos nos deslocar do ponto inicial escolhido, para qualquer direção e por qualquer distância, e mesmo assim o espaço vai ser o mesmo. Neste caso dizemos que nosso espaço é invariante por translação espacial (qualquer ponto no espaço é igual). Aqui a transformação é o "deslocar no espaço" e a simetria tem o nome de "invariância por translação espacial". A figura 1 a seguir, ilustra esta invariância por translação espacial, para o caso de um  sistema que é um plano vazio (é importante imaginar que o plano é infinito, sem limites ou bordas).

Figura 1 - Todos os pontos em um plano são iguais.

    O sistema vai ser independente de estar no ponto 1 ou ponto 2 (é sempre bom ressaltar, que devemos imaginar o plano infinito, em todas as direções), isto é,  vai ser o mesmo, continua sendo um sistema vazio.

    Vamos agora imaginar que nosso espaço esteja preenchido com alguns objetos todos iguais (figura 2), e agora nosso sistema  consiste do espaço plano  com alguns objetos . Neste caso, nosso sistema perde a invariância por translação espacial, pois pontos diferentes do espaço, apresentam características diferentes, por exemplo em torno do círculo  com circunferência vermelha tem menos círculos do que em torno do círculo com contorno preto.  

Figura 2- Uma distribuição irregular


    Nosso sistema agora perdeu a sua simetria original, e diferentes pontos do plano, possuem propriedades diferentes. Nosso sistema perdeu a simetria de translação espacial.

        Vamos fazer uma outra modificação, considerar nosso plano ainda preenchido com alguns objetos (todos iguais), mas agora de forma ordenada, como na figura 3 (devemos imaginar infinitos objetos   separados pelas mesmas distâncias dos seus vizinhos, pois na figura eu desenhei apenas alguns objetos). Este sistema  também não tem a mesma invariância por translação espacial da figura 1, mas notemos que é diferente da figura 2.  Como os objetos estão igualmente espaçados (na figura 3, escolhemos um espaçamento igual na horizontal e na vertical , e que representamos pela letra ), ao deslocarmos uma distância na horizontal por d, 2d, 3d ... nada se modifica (e igualmente se deslocarmos por d, 2d, 3d .... na vertical, e também no sentido negativo, isto é, -d,-2d,-3d, ... em qualquer direção). Isto quer dizer que nosso sistema ainda possui invariância por translação espacial, SE, o deslocamento for um múltiplo inteiro de  d (a distância entre os pontos) na horizontal ou na vertical. O que mudou? Na figura 1 a invariância por translação espacial ocorria para deslocamentos de qualquer  tamanho, e dizemos que é invariante por translações espaciais contínuas. Na figura 3, a invariância ocorre apenas para deslocamentos que sejam múltiplos da distância , e dizemos que é invariante por translações espaciais discretas.  Agora podemos apresentar a nossa primeira definição: um cristal é uma estrutura de arranjo de átomos que apresentam simetrias por translação espacial discreta. 

Figura 3. Um arranjo simétrico



    Os cristais apresentam uma repetição da sua estrutura básica, apresentam uma periodicidade espacial (isto é, possuem uma estrutura que se repete no espaço, quando deslocado por uma certa distância - o período. No nosso exemplo acima, o período espacial é a distância d). Um cristal real, não se repete indefinidamente, mas a repetição ou o arranjo ordenado de átomos dentro da sua estrutura é uma das suas características mais importante. Além da simetria simples que apresentamos, existem outros tipos de simetrias para os cristais, mas para o nosso propósito, basta a noção de que um cristal é uma estrutura que se repete periodicamente no espaço. Com isto, dizemos que 

um cristal é um sistema que apresenta simetria por translação espacial discreta. Os objetos, que são átomos, em um cristal, estão regularmente espaçados.  

    A translação temporal, é um deslocamento agora no tempo ao invés de uma deslocamento no espaço. Na física, a simetria por translação temporal tem consequência bem interessantes. Ter simetria por translação temporal, significa que o sistema não modifica com o tempo, e uma consequência importante desta simetria é a conservação de energia. Dizemos que um sistema que possui invariância por translação temporal possui uma grandeza conservada, e esta grandeza é a energia. Um assunto que é interessante a respeito do tempo , é a chamada seta do tempo, isto é, porque o  tempo flui apenas em um sentido. Mas este é um assunto para outro texto. Agora vamos tentar explicar o termo "quebra espontânea de simetria".

    Retornando ao nosso cristal, com átomos  espaçados por uma distância d, vamos considerar dois átomos quaisquer que estejam na rede. Para simplificar vamos considerar que estejam na mesma linha horizontal. Já sabemos que a estrutura se repete a cada translação discreta d.  A distância entre dois átomos será então um múltiplo inteiro de do espaçamento d, digamos 2d (ver figura 4). Agora se deslocarmos cada um dos átomos uma mesma distância R, não vamos alterar a distância entre os dois átomos (ver a figura 4a e a figura 4b, onde deslocamos todos os átomos pela mesma distância horizontal R) .  E isto deve ser válido para quaisquer pares de átomos, mesmo que não estejam na mesma linha horizontal! (Se você já estudou vetores, isto pode ser mostrado de maneira bem simples).


Figura 4. A distância entre dois átomos não varia se todos os átomos forem deslocados pela mesma distância R. Compare a figura (a) com a figura (b).

    E o que tudo isto tem a ver com quebra espontânea de simetria? Vamos considerar que agora nosso sistema físico seja descrito por um modelo teórico onde a interação entre os átomos depende apenas da distância entre elas. Neste caso, se efetuarmos uma transformação onde todos os átomos são deslocados por uma mesma distância, a interação não será alterada (pois não vai mudar a distância entre os átomos). Este modelo não se altera com uma translação espacial contínua, isto é, possui uma simetria de invariância sob translações espaciais contínuas. Mas o cristal não tem a simetria de translação espacial contínua , mas possui a simetria de translação espacial discreta.  Quando isto ocorre - o modelo teórico possui uma simetria, mas o sistema  não possui a mesma simetria -  dizemos que ocorreu uma quebra espontânea de simetria [3]. 

    Agora podemos retornar ao nosso cristal do tempo, e a proposta original de Wilczek, que é importante ressaltar, abordou sistemas no seu estado fundamental, isto é, no estado de mais baixa energia. Estes sistemas, pela própria definição de estado fundamental, não variam com o tempo. Ou dito de outra forma, em qualquer instante do tempo, são iguais, possuindo assim, uma invariância por translação temporal. Wilczek, argumenta que é possível construir um sistema que mesmo  estando no seu estado fundamental, pode apresentar variações que são periódicas no tempo. Ele utiliza no artigo  os mesmos argumento que definem o  processo de quebra espontânea de simetria que forma um cristal, mas agora considerando uma translação no tempo e não no espaço. E para ocorrer esta quebra de simetria, o sistema passaria a ter um movimento eterno, sem dissipação, e como afirma o próprio Wilczek "perigosamente semelhante a um moto perpétuo". Mas como comentado logo no  início deste texto,  foi demonstrado posteriormente que a proposta de cristal de Wilczek, não esta correta, e este perigo de se assemelhar com um moto perpétuo, foi definitivamente descartado.

    O chamado teorema da impossibilidade (no-go theorem), apresentada por Bruno, Watanabe e Oshikawa [2] afirma que   cristais do tempo no estado fundamental (ou em estados de equilibrio) não podem existir, mas não afirma que cristais do tempo não podem existir. Sem a restrição de estar em equilíbrio, e com  uma definição mais precisa de cristal do tempo (com a inclusão de critérios mais elaborados do que a utilizamos no inicio do texto) novas pesquisas começaram a ser realizadas sobre o assunto, considerando o cristal do tempo, como um novo tipo de estado da matéria. E em 2021, menos de 10 anos após a proposta inicial, foi experimentalmente verificado a formação de um cristal do tempo [4,5], e a sua existência deixou de ser apenas uma construção teórica interessante.

    Quais possíveis aplicações do cristal do tempo? Ainda não sabemos,  somente com o tempo (sem a intenção de fazer um trocadilho) poderemos responder melhor sobre esta possibilidade de aplicações.   Mas o estudo de fenômenos de muitos corpos fora do equilíbrio, ganhou um assunto muito especial para ser estudado, e independente de futuras aplicações, vamos entender melhor o nosso Universo.

 

[*]  Franz Wilczek  ganhou o prêmio Nobel de Física em 2004, de acordo com o comitê  Nobel pela  "descoberta da liberdade assintótica na teoria de interação forte" . 

[1] F. Wilczek. Quantum Time Crystal ,Phys.Rev.Lett. 109 (16) 160401, para um versão com acesso  livre , ver em   https://arxiv.org/abs/1202.2539 . No artigo,o trecho que cito aparece como  "Symmetry and its spontaneous breaking is a central theme in modern physics. Perhaps no symmetry is more  fundamental than time-translation symmetry, since time-translation symmetry underlies both the reproducibility of  experience and, within the standard dynamical frame-works, the conservation of energy. So it is natural to consider the question, whether time-translation symmetry  might be spontaneously broken in a closed quantum-mechanical system. That is the question we will consider, and answer affirmatively, here. "

[2] Para quem tiver interesse,  este artigo de revisão  Lingzhen Guo and Pengfei Liang Condensed Matter Physics em Time Crystal,  New J. Phys. 22 075003 , 2020 é de acesso livre em https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/ab9d54 ou Krzysztof Sacha and Jakub Zakrzewski, Time Crystal: a review,   Rep. Prog. Phys. 81 016401, 2018, que tem acesso livre em  https://arxiv.org/pdf/1704.03735.pdf , ou V. Khemani , R. Moessner c , S. L. Sondhi , A Brief History of Time Crystals, tem acesso livre https://arxiv.org/abs/1910.10745 .  Os artigos de Bruno , Watanabe e Oshikawa, são  P.Bruno. Impossibility of Spontaneously Rotaing Time Crystal: A no-go theorem. Phys.Rev.Lett,111,070402, 2013; acesso livre em https://arxiv.org/abs/1306.6275 ;  H. Watanabe e M.Oshikawa. Absence of Quantum Time Crystals, Phy.Rev.Lett, v114, 251603, 2015; acesso livre em https://arxiv.org/abs/1410.2143 . 

[3] Existem alguns detalhes que omiti, e com certeza  quem tem formação em física, vai ficar aborrecido com as omissões. Mas, entendo que para os não físicos, os detalhes (que são importantes!), podem acabar causando mais confusões do que esclarecimento.
 

[4] Além do grupo do Google, outros grupos também relataram experimentos que comprovando um comportamento que justifica a existência de um cristal do tempo. No caso da Google, o experimento tem seu mérito por tratar de um sistema maior, e talvez o mais interessante, a utilização da estrutura de um computador quântico a Google havia acabado de construir e testar.

[5] Um fato interessante do modelo que foi testado experimentalmente , é de que no artigo originalmente submetido para a publicação, não havia referência aos cristais do tempo. Mas durante o processo de submissão (em 2015), um dos revisores chamou a atenção dos autores, de que os resultados se encaixavam na descrição de um cristal do tempo. Este relato pode ser lido por exemplo em V. Khemani , R. Moessner c , S. L. Sondhi , A Brief History of Time Crystals, tem acesso livre https://arxiv.org/abs/1910.10745 


janeiro 10, 2022

O Elevador de Einstein em uma garrafa de água

     O elevador de Einstein é uma construção mental extremamente interessante,  e de acordo com o próprio Einstein, foi fundamental para o desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral, e nas palavras de Einstein  foi "o pensamento mais feliz da minha vida " [1].  Ele imaginou a situação  de uma pessoa  caindo do telhado de uma casa e sua percepção dos fenômenos físicos durante a queda. Este experimento mental, expressa um fato observacional importante: a de que todos os corpos caem com a mesma aceleração na presença de um campo gravitacional (devemos considerar uma situação onde o atrito com o ar é desprezível, veja o excelente video do Brian Cox [2], comparando a queda de uma bola de boliche e um conjunto de penas, em um ambiente com atrito reduzido com o ar). Sobre o Elevador de Einstein,  vamos considerar duas situações, que descrevo a seguir.

    Na primeira situação vamos considerar que uma pessoa  aqui na superfície da Terra,  em um laboratório sem absolutamente nenhuma visão para fora. Para manter uma tradição entre os físicos, vamos chamar esta pessoa de Alice. Em seu laboratório, ela realiza diversos experimentos de física, e em um experimento de queda livre de um corpo, mede a  aceleração durante a queda, obtendo o valor igual a $g=9,81 m/s^2$. Alice precisa determinar se  esta aceleração é devido a existência de um campo gravitacional ou é devido a estar em um foguete  acelerado em relação a um referencial inercial.  Mas Alice não consegue decidir fazendo apenas experimentos locais, independente do experimento que realize.

    Agora vamos mudar para uma outra pessoa (e para manter a tradição da física, será  o Bob) em um laboratório igualmente sem visão para fora, mas  localizado distante de qualquer outro objeto, no espaço.  Outra condição é que este laboratório esteja acelerado (é um laboratório foguete, e com os motores ligados), com aceleração igual a g. Neste laboratório, Bob executa diversos experimentos de física, e em experimentos de queda livre observa que todos os objetos possuem uma mesma aceleração igual a $g=9,81m/s^2$.  Bob, como a Alice, precisa determinar se  esta aceleração é devido a existência de um campo gravitacional ou é devido a estar em um foguete  acelerado em relação a um referencial inercial.  Mas Bob não consegue decidir fazendo apenas experimentos locais, independente do experimento que realize.

    Nesta  primeira situação, ambos não conseguem concluir se estão na presença de um campo gravitacional ou no espaço distante, em um foguete acelerado. Nenhum experimento local vai poder dizer se é um caso ou outro.

    Na segunda situação,  o laboratório foguete de Bob, ainda longe de qualquer outro objeto, ficou sem combustível e não está mais acelerado. Nesta situação, o laboratório foguete se comporta como um referencial inercial perfeito: um objeto deixado inicialmente em repouso, continuará em repouso, até que seja aplicado uma força externa.  E agora ao soltar um objeto, ele não cai. Será que Bob pode afirmar com certeza que está em um foguete com motores desligados e longe de qualquer objeto que gere um campo gravitacional? Ou Bob deve afirmar que está em queda livre nas proximidades de um corpo massivo?

    E Alice? Bem, o laboratório dela, que na verdade está dentro de um poço e preso no teto por  cabos de aço, por um infeliz problema, começa a cair do andar que estava (os cabos de aço se romperam). Alice que estava repousando, acorda durante a queda e percebe ao soltar um objeto, que  ele não cai em direção ao chão, como acontecia. Ainda sem saber que o laboratório estava em queda livre, ela conclui que está em um ambiente sem gravidade!  E os objetos que estão parados, continuam parados em seus locais.  Para Alice, ela está em um referencial longe de qualquer outro objeto, em um referencial realmente inercial! (Ela prefere não pensar na situação trágica de seu laboratório estar caindo , pobre Alice)

    Nesta segunda situação, tanto Alice como Bob, concluem estar em um referencial inercial.  E qualquer experimento local que realizem dentro do laboratório, não poderá dizer se o laboratório está em queda livre em um campo gravitacional (Alice) ou no espaço longe de qualquer outro objeto em um foguete não acelerado (Bob).  Nenhum experimento vai poder dizer  se é um caso ou o outro. A única coisa que sabem é que localmente, o seu laboratório é um referencial inercial.  

    Considerando as duas situações apresentadas acima, Einstein considerou importante que ao escrever uma  lei da física, ela não deveria depender do sistema de referencias escolhido. As leis  devem ser as mesmas em qualquer referencial, seja inercial ou não.  Foi a partir desta construção mental,  que permitiu a Einstein começar a elaborar a Teoria Geral da Relatividade. Ele procurou uma forma de obter as equações que descrevem os fenômenos físicos, em uma forma que não dependia do tipo de sistema de referências escolhido, seja um referencial inercial ou não. Quem lembra das aulas de física, ao serem apresentados  às leis de Newton, o inicio deve ter sido algo como "dado um referencial inercial ...". Isto é, um tipo particular de referencial é escolhido. A Teoria da Relatividade Geral, não começa com uma escolha particular de referencial. Ela é escrita de forma a ser válida em qualquer referencial [3].    

    Antes de continuarmos, é preciso fazer uma observação importante, de que  a equivalência exata entre um referencial acelerado e um referencial fixo em um local com campo gravitacional, só ocorre em uma situação muito particular e artificial: um campo gravitacional homogêneo. Mas o que  significa ser homogêneo? Significa que em qualquer ponto que escolhermos, o campo gravitacional deve ser o mesmo, em sentido, direção e módulo (intensidade). No caso da Terra, ou qualquer outro objeto real, isto não ocorre. Mas isto não invalida o experimento mental do elevador de Einstein, pois um termo importante que é utilizado é o termo "experimento local", que significa basicamente "uma região suficientemente pequena" [4].  No exemplo de Alice que está em queda livre, se ela realizar um experimento que compara com muita precisão o campo gravitacional em dois pontos distantes, ela irá notar que existem diferenças e poderá concluir corretamente que está na presença de um campo gravitacional e que ela está em queda livre. Esta ressalva é importante,  pois no caso de Alice em queda livre, o campo gravitacional não sumiu, ela é a responsável pela queda livre. O que ela vai medir é que os objetos não tem peso no seu laboratório em queda livre, que é diferente de afirmar que não existe campo gravitacional. Podemos imaginar que uma terceira pessoa (que vamos chamar de Charles), longe de Alice e Bob, e que  observa ambos, pode dizer que Alice está na presença de um campo gravitacional, e que Bob não está na presença de um campo gravitacional. Isto porque o campo gravitacional  é real, e vai existir independente do tipo de movimento do observador [5]! 

    Mas qual a relação com uma garrafa com água? A relação é um experimento que pode ser feito facilmente (mas prepare uma toalha!) em casa. Pegue uma garrafa plástica , pode ser de 500 ml, 1 litro ou mais. Faça um pequeno furo na lateral inferior da garrafa. Quando enchemos a garrafa com água, o furo vai fazer com que a água saia da garrafa. Por que ela sai? A coluna da água acima do nível do furo, exerce uma pressão, que vai depender da altura do furo até a superfície livre da água. Na superfície da água,  pressão é igual a da pressão atmosférica, que é a mesma do lado de fora do buraco. Mas na parte interna, a pressão é a da pressão atmosférica acrescida da pressão devido à coluna de água, ou seja, ela é maior que a da parte externa. Esta diferença de pressão, faz com que a água saia pelo buraco. (Ah não esqueça de fazer o experimento com a garrafa SEM a tampa, caso contrário, não vai funcionar.) 

    Agora o ponto importante: a pressão da coluna de água, depende da densidade da água, da distância do buraco até a superfície superior da água e da aceleração da gravidade. Então, se fizermos o experimento em um local que não tenha campo gravitacional, não deve sair água pelo furo. Humm, mas como podemos verificar isso?  Será que necessitamos de equipamentos sofisticados para fazer o experimento? Não precisamos de nada sofisticado!  Acabamos de comentar sobre uma situação onde um objeto em queda livre, se comporta como se localmente a aceleração da gravidade fosse nula. Então, esperamos que se soltarmos a garrafa em queda livre,  no referencial da garrafa, a situação seja semelhante ao caso sem a presença da aceleração da gravidade, logo a água não deve sair pelo buraco. Será? O melhor é experimentar!  Faça o experimento em casa, ou veja este  vídeo,  onde Brian Greene demonstra o experimento [6]. Note que inicialmente com a garrafa parada  a água sai pelo furo, e  ao soltar a garrafa, logo no início da queda, a água deixa de sair do furo, como esperado! O que está acontecendo? Cada porção da água, está caindo com a mesma aceleração g, assim como o furo na garrafa (e claro a garrafa também), de forma que em relação ao referencial em queda livre,  a água e o furo, estão caindo junto! A figura 1, são fotos do experimento que fiz em casa. No lado direito é possível ver a água saindo pelo furo, enquanto a garrafa está parada e no lado direito, a garrafa em queda livre e já  não percebemos o jato saindo pelo furo.

Figura 1. O elevador de Einstein em uma garrafa de água.

    Um experimento  simples de fazer, e que demonstra um dos princípios fundamentais  da física moderna! Este princípio recebe o nome de Princípio da Equivalência. Para os físicos existe o Princípio Fraco da Equivalência e o Princípio Forte da Equivalência.  O Princípio Forte estabelece que as leis da física devem ser as mesmas em qualquer referencial, seja inercial ou não. Para quem lembrar das aulas de física na escola, deve lembrar das leis de Newton , válidas em referenciais inerciais. O Princípio forte é uma generalização, incluindo todos os tipos de referenciais. Ah, claro que podemos utilizar as leis de Newton em referenciais não inerciais, mas precisamos tomar alguns cuidados.  Utilizamos referenciais não inerciais  cotidianamente, pois a Terra não é um referencial inercial (ela translada em torno do Sol e ainda tem a rotação diurna), mas dependendo da situação, a Terra é uma aproximação muito boa de um referencial inercial. O que  vai acontecer é que, irão aparecer algumas forças que denominamos inerciais (alguns textos utilizam forças fictícias).  Em situações onde as forças inerciais são muito pequenas, elas podem ser desprezadas e a Terra pode ser considerada como um referencial inercial.  Um exemplo de força  inercial é a força CENTRÍFUGA, que somente aparece em referencias não inerciais. Para uma discussão interessante sobre força centrífuga, recomendo visitar https://cref.if.ufrgs.br/?contact-pergunta=forca-inercial-centrifuga . Aliás, o CREF [7] é um sítio que vale sempre a pena visitar.  

        O Princípio Fraco da Equivalência, estabelece a igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional. Mas  o que seria massa gravitacional??? A massa inercial é aquela que aprendemos nas aulas de física, é a grandeza relacionado com a inércia de um objeto (é comum associar a massa inercial com a medida da quantidade de matéria, mas isto não é muito correto, pois existem situações onde existe algo semelhante a inercia mas não tem matéria!). E a massa gravitacional é uma grandeza física que representa como um objeto responde à presença de um campo gravitacional, e a rigor não é a  mesma coisa que a massa inercial.  A massa inercial aparece quando escrevemos por exemplo a segunda lei de Newton , onde a força resultante é definida como o produto da massa inercial pela aceleração.  A massa gravitacional aparece quando colocamos um objeto em um campo gravitacional. Lembram quando escrevemos a equação do peso, como $ P=mg,$ onde $g$ é a aceleração da gravidade? A massa que aparece na equação é a massa gravitacional e não  a massa inercial. Confuso? Se você lembrar das aulas de eletricidade, deve lembrar da lei de Coulomb. Na presença de um campo elétrico $E$, a força que o campo elétrico exerce em um corpo com carga elétrica $q$, é escrita como $ F= q E$. A carga elétrica é a grandeza que nos diz como o objeto reage na presença de um campo elétrico, e de maneira análoga a massa gravitacional é como o objeto reage  na presença de um campo gravitacional. Seria algo como a "carga gravitacional".  O grande mistério da física é por que a massa inercial é igual à carga gravitacional (ou massa gravitacional). Esta igualdade faz com que a aceleração dos objetos em queda livre, seja sempre a mesma, independente da sua massa inercial!

    O Princípio da Equivalência tem sido testado muito, e até o momento não  existem resultados robustos que mostrem que o Princípio esteja errado. Existem experimentos ou observações realizados com grandes objetos - como as estrelas e buracos negros, galáxias - ou objetos menores como átomos, nêutrons e mesmo neutrinos e o Princípio da Equivalência tem sido comprovado em todos os experimentos e observações. Experimentos recentes realizados no Centro Europeu de Pesquisas Nucleares (CERN), indicaram que a matéria e a anti-matéria (no caso prótons e anti-prótons) se comportam da mesma maneira na presença de um campo gravitacional, com um teste extremamente preciso da validade do Princípio Fraco da Equivalência [8]. 

   Existem alguns trabalhos que teoricamente fazem previsão da violação do Princípio Fraco da Equivalência, mas em situações muito extremas e que ainda não temos condições de fazer experimentos para verificar as previsões. Talvez futuramente, possamos determinar com maior precisão SE existem situações em que o Princípio pode ser violado, e fazer testes experimentais para validar as previsões. Por enquanto, desde escalas cosmológicas até escalas dos núcleos atômicos, o Princípio da Equivalência é comprovado com resultados bem robustos. Podemos continuar a brincar com nossa garrafa com água [9].

    Para um texto muito interessante sobre o Princípio da Equivalência, recomendo a leitura do artigo EINSTEIN, A FÍSICA DOS BRINQUEDOS E O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA [10],  vale a pena a leitura!


[1] Volume 7: The Berlin Years: Writings, 1918-1921. Link em  https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol7-trans/152

[2] https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs (video Brian Cox)

[3] Einstein comenta sobre a preferência da física newtoniana de escolher um referencial inercial, deixando claro que não podemos considerar como uma falha da física newtoniana, mas argumenta que  uma teoria  na qual qualquer referencial seja considerado equivalente, seria epistemologicamente mais satisfatória. O resultado foi a Teoria Geral da Relatividade. Ver em [1], o comentário, que é: "It should by no means be  claimed that the basically unsubstantiated preference of inertial systems over other coordinate systems constitutes an error of classical mechanics. The preference of certain sates of motion (namely, of inertial systems) in nature could be a final fact that we have to accept without being able to explain it (or reduce it to some cause). However, a theory in which all states of motion of coordinate systems are—in principle—equal has to be appreciated from an epistemological point of view as being far more satisfying. For the following consideration we want to use this equivalence as a basis under the name of "general postulate〉 principle of relativity. "

[4] O  termo "pequeno", depende da precisão dos equipamentos de medida que venha a ser utilizado. Mas não vamos nos preocupar com isso no momento.

[5]  Para quem estiver curioso, a maneira de determinar se é um referencial acelerado ou um campo gravitacional, é medindo o chamado desvio geodésico ou o efeito de maré. Esta grandeza está relacionada com a medida do campo gravitacional em dois pontos separados no espaço. Este efeito de maré NÃO pode ser eliminado em um referencial em queda livre ou qualquer outro referencial, pois está relacionando com a existência da curvatura do espaço-tempo. O desvio geodésico está relacionado com uma grandeza que denominamos tensor de curvatura de Riemann, que fornece as  informações sobre a curvatura do espaço-tempo, que é como a gravitação se manifesta de acordo com a Teoria da Relatividade Geral.

[6]https://www.youtube.com/watch?v=0jjFjC30-4A (Entrevista Brian Greene minuto 4:20 )

[7] CREF - Centro de Referência para o Ensino de Física  https://cref.if.ufrgs.br/

[8]  M.J. Borchet et all, , A 16-parts-per-trillion measurement of the antiproton-to-proton charge-mass ratio, Nature, 601,53-57, 2022. https://www.nature.com/articles/s41586-021-04203-w

[9] Existem alguns resultados observacionais que argumentam que são observados violações no Princípio Forte da Equivalência, por exemplo em observações que modelam a dinâmica de galáxias , e que favorecem uma classe de teoria denominada MOND (modelo de gravitação newtoniana modificada), mas são dados que ainda não são considerados consensuais.  E também os modelos MOND não são consensuais. Estes modelos são alternativas para a existência da matéria escura,  mas diversos dados  observacionais em diferentes situações  e modelos  teóricos robustos, favorecem a existência da matéria escura , de forma que MONDs não parece ser modelos corretos.

[10] A. Mederiros, C.F. de Mederiros, Einstein, a Física dos brinquedos e o Princípio da equivalência, Cad.Bras.Ens.Fis, v22 (3), 2005.   https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/6373/5899