Princípio da Incerteza

    O  princípio da incerteza, é um  princípio fundamental da  moderna física quântica, tendo sido apresentado pela primeira vez por Werner Heisenberg em um artigo  1927 [1],   considerando o que ocorreria ao utilizar um microscópio hipotético utilizando raio gamma para observar um elétron. Sendo o raio gama uma radiação com  menor comprimento de onda do que a da luz, este hipotético  microscópio permitiria determinar com uma precisão  $\delta x $ muito menor a posição do elétron do que seria possível com um microscopio ótico. Utilizando o conceito de fóton, a radiação gamma  ao interagir com o elétron, causa um desvio no mesmo ( este efeito já havia sido estudado mas com raio x por  Arthur Compton) resultando em uma imprecisão no momento linear $\delta p $ devido a imprecisão inicial na posição  do elétron. No artigo Heisenberg demostra que estas imprecisões, utilizando a mecânica quântica resultam na desigualdade [2]

$$\delta x \delta p  \ge \hbar/2 .$$

E destaca que [1]

Assim, quanto maior a precisão na determinação da posição, menor será a precisão na determinação do momento.

Ou dito de forma mais usual, a medida da posição tem como consequência uma perturbação imprevisível e não controlável na medida do momento linear. Da forma apresentada por Heisenberg, temos uma relação entre pertubações devido a realização de medidas no sistema.

Esta é a maneira que o Princípio da Incerteza é apresentado em alguns livros textos muito utilizados  no Brasil, principalmente nas disciplinas iniciais. Por exemplo, a figura 1 é do livro de Física Quântica, de R. Eisberg e R. Resnick, que ilustra exatamente  a abordagem de Heisenberg.

Figura 1. Uma representação da incerteza segundo Heisenberg (Fonte: Fisica Quântica, Eisberg/Resnick)

    No entanto, a equação do Princípio da Incerteza é apresentado nos livros, utilizando uma versão desenvolvida por E.H. Kenard em 1927, generalizando o resultado de Heisenberg,

$$\Delta x \Delta p \ge \hbar/2 $$

Mas qual a diferença entre as duas? Seriam apenas de notação?  Existe uma diferença importante a primeira (a de Heisenberg) expressa as precisão das medidas (uma limitação nas medidas) e a segunda  expressa  o desvio padrão (decorrente das limitações na preparação do estado utilizado nas medidas) [3].  É possível obter a primeira equação a partir da segunda, mas a inversa não é possível.  A equação obtida por Kenard é rigorosamente alicerçada no formalismo da mecânica quântica, a de Heisenberg não é deduzida a partir do formalismo da mecânica quântica. A figura 2, retirado de [3], ilustra a diferença ente o desvio padrão (neste texto $ \Delta q $ é representado por $ \Delta x $) e incerteza na medida. O que denominamos Princípio da Incerteza , é a segunda equação , e não  a primeira. 

Figura 2. Diferença entre o desvio padrão e incerteza na medida. Fonte [3].

    Uma questão que pode surgir é como podemos ter uma incerteza menor que o desvio padrão,   não teríamos problemas com a violação do Princípio da Incerteza? Ou a interpretação  de "incerteza de medida" como desenvolvido por Heisenberg não seria correta?

    Em relação a esta questão,  M. Ozawa [4] apresentou uma dedução    da relação original 

$$\delta x \delta p  \ge \hbar/2 $$

de Heisenberg, mas com um procedimento mais rigoroso, obtendo [5]

$$\delta x \delta p +\Delta x \delta p +\Delta p \delta x     \ge \hbar/2 $$

Uma consequência interessante desta relação é que passa a ser possível realizar medidas precisas na posição, que viola a desigualdade proposta por Heisenberg. E dois artigos  publicados em 2012 [6], utilizando técnicas diferentes,   mostraram a violação da Princípio da Incerteza proposto por Heisenberg,  mas satisfazendo a generalização  proposta por Ozawa.  Estes resultados demonstram que é possível reduzir as incertezas nas medidas SEM violar o Princípio da Incerteza.

Para evitar confusões, o que os experimentos demonstram é a violação da relação [7] , 

$$\delta x \delta p  \ge \hbar/2 $$ 

e não da relação 

$$\Delta x \Delta p  \ge \hbar/2 $$

de forma que o Princípio da Incerteza, que relaciona os desvios padrões continuam válidas. O que os experimentos e o artigo de Ozawa mostram  é que a proposta de que o Princípio da Incerteza limita as precisões das medidas como costuma ser apresentado em alguns livros textos, não é correta. Algo que precisa ser corrigido!

Notas e referências

[1] O artigo  de Heisenberg traduzido para o inglês, está reproduzido no livro Quantum Theory and Measurement, John Archibald Wheeler (Editor), Wojciech Hubert Zurek (Editor), Princeton University Press, 

[2] A equação no artigo de Heisenberg é deduzido considerando um pacote de onda gaussiana, mas aqui estamos considerando um estado genérico. No caso de pacote gaussiano, a incerteza é minima.

[3] Veja por exemplo o artigo de Ballentine, Statistical Intepretations of Quantum Mechanics ou a referência [4].

[4] Ver M. Ozawa,  Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance  in measurement 

[5] No artigo de Ozawa, a dedução é realizada para um par arbitrário de operadores .

[6] Os artigos publicado no PRL Violation of Heisenberg’s Measurement-Disturbance Relationship by Weak Measurements ou com acesso livre aqui e o artigo publicado na Nature  Experimental demonstration of a universally valid error–disturbance uncertainty relation in spin measurements com acesso livre aqui .

[7] Lembrando que as medidas não envolveram posição e momento, mas a ideia é semelhante para os pares de grandezas utilizadas em cada caso. Se você conhece sobre operadores e comutadores, a fórmula geral do Princípio da Incerteza para é dado por

$$ \Delta \hat A \Delta \hat B \ge \frac{1}{2}| \langle  [\hat A, \hat B] \rangle | $$

para dois operadores arbitrários. Note que para operadores que comutam, o limite inferior é zero.